Question

गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:

प्रत्येक प्राकृत संख्या n ≥ 2 के लिए, n³ − n, संख्या 6 से भाज्य है।

Answer 1

मान लो की, P(n) : n³ − n प्राकृतिक संख्या n > 2 के लिए 6 से विभाज्य होने दें।,

P(2) : (2)³ − 2 = 6 अब P(2) जो 6 से विभाज्य है, इसलिए (2) सत्य है।

आइए हम मान लें कि P(n) कुछ प्राकृतिक n = k संख्या के लिए यह सही है।

P(k) : K³ – k को 6 से विभाज्य होने दें।

अथवा k³ − k = 6m, m ∈ N ........(i)

साबित करो, P(k + 1) सत्य है।

​P(k + 1) : (k + 1)³ − (k + 1)

= k³ + 1 + 3k(k + 1) − (k + 1)

= k³ + 1 + 3k² + 3k − k − 1

= (k³ − k) + 3k(k + 1)​

= 6m + 3k(k + 1) ........(using (i))

जो 6 से विभाज्य है। (∴ k(k + 1) सम है)

इस प्रकार, जहाँ भी P(k + 1) सत्य है वह P(k) सत्य है।

इसलिए, गणितीय प्रेरण के सिद्धांत से सभी प्राकृतिक संख्याओं n ≥ 2 के लिए P(n) सही है।