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प्रश्न
यदि P(n) : 2n < n!, n ∈ N, तो P(n) सभी n ≥ ______ के लिए सत्य है।
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उत्तर
यदि P(n) : 2n < n!, n ∈ N, तो P(n) सभी n ≥ 4 के लिए सत्य है।
स्पष्टीकरण:
देखिए P(n) = 2n < n!, ∀ n ∈ N
n = 1 के लिए गणना करें।
⇒ 2 < 1
इसलिए, यह सच नहीं है।
n = 2 के लिए गणना करें।
⇒ 2 × 2 < 2!
⇒ 4 < 2
इसलिए, यह सच नहीं है।
n = 3 के लिए गणना करें।
⇒ 2 × 3 < 3!
⇒ 6 < 3.2.1
⇒ 6 < 6
इसलिए, यह सच नहीं है।
n = 4 के लिए गणना करें।
⇒ 2 × 4 < 4!
⇒ 8 < 4.3.2.1
⇒ 8 < 24
इसलिए, यह सच है।
n = 5 के लिए गणना करें।
⇒ 2 × 5 < 5!
⇒ 10 < 5.4.3.2.1
⇒ 10 < 120
इसलिए, यह सच है।
इसलिए, n ≥ 4 के लिए P(n) सच है।
इसलिए, अगर P(n) : 2n!, n ∈ N तब n ≥ 4 के लिए P(n) सच है।
अगर P(n) : 2n!, n ∈ N तब n ≥ 4 के लिए P(n) सच है।
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गणितीय आगमन का सिद्धांत
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