Question

गणितीय आगमन के सिद्धांत का प्रयोग करके, दिए गए कथन को सिद्ध कीजिए (n ∈ N):

1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n²

Answer 1

मान लीजिए कि दिया कथन P(n) है।

अत: P(n) : 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n², सभी n ∈ N के लिए, नोट कीजिए कि P(1) सत्य है, क्योंकि

P(1) : 1 = 1²

मान लीजिए कि किसी k ∈ N के लिए P(k) सत्य है, अर्थात,

P(k) : 1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1) = k²

अब, P(k + 1) को सत्य सिद्ध करने के लिए, हम देखते हैं कि,

1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1) + (2k + 1)

= k² + (2k + 1)

= k² + 2k + 1 = (k + 1)²

अतः जब कभी P(k) सत्य है तब, P(k + 1) भी सत्य है। 

अतएव गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा P(n), सभी n ∈ N के लिए सत्य है।