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प्रश्न
सभी n ∈ N के लिए गणितीय प्रेरण के सिद्धांत का उपयोग करके निम्नलिखित को सिद्ध करें:
`1 + 3 + 3^2 + ... + 3^(n – 1) =((3^n -1))/2`
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उत्तर
मान लो की दिया गया कथन हो P(n), अर्थात,
`P(n): 1 + 3 + 3^2 + ..... + 3^(n-1) = (3^n - 1)/2`
n = 1 के लिए, हमारे पास है
P(1) = `(3^1 - 1)/2 = (3 - 1)/2 = 2/2 = 1`
जो की सत्य है।
किसी धन पूर्णांक k के लिए कल्पना कीजिये की P(k) सत्य है, अर्थात
`1 + 3 + 3^1 + ..... + (3^1 - 1)/2`
अब यह सिद्ध करेंगे P(K+1) भी सत्य है,
विचार करें
`1 + 3 + 3^2 + ...+ 3^(k-1) + 3^((k + 1) -1)`
= `(1 + 3 + 3^2 + ... + 3^(k-1) + 3^k`
= `(3^k - 1)/2 + 3^k`
= `((3^k - 1) + 2 .3^k)/2`
= `(3.3^k - 1)/2`
= `(3.3^(k-1) - 1)/2`
जब भी P(k) सत्य होगा P(k + 1) भी सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धातं के अनुसार P(n) उन सभी n के मान के लिए सत्य है जो n ϵ N है।
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n(n + 1)(n + 5), संख्या 3 का एक गुणज है।
102n-1 + 1, संख्या 11 से भाज्य है।
x2n – y2n, (x + y) से भाज्य है।
32n+2 – 8n- 9, संख्या 8 से भाज्य है।
गणितीय आगमन के सिद्धांत का प्रयोग करके, दिए गए कथन को सिद्ध कीजिए (n ∈ N):
सभी प्राकृत संख्याओं n ≥ 3 के लिए 2n + 1 < 2n.
गणितीय आगमन के सिद्धान्त द्वारा सिद्ध कीजिए कि सभी प्राकृत संख्या n के लिए, 1 × 1! + 2 × 2! + 3 × 3! + ... + n × n! = (n + 1)! – 1
मान लीजिए कि P(n) : “2n < (1 × 2 × 3 × ... × n)”, तो न्यूनतम धन पूर्णाक, जिसके लिए P(n) सत्य है,
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:
प्रत्येक प्राकृत संख्या n के लिए, 4n − 1 संख्या 3 से भाज्य है।
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सभी प्राकृत संख्या n के लिए 32n − 1 संख्या 8 से भाज्य है।
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प्रत्येक प्राकृत संख्या n के लिए, n(n2 + 5), संख्या 6 से भाज्य है।
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सभी प्राकृत संख्या n के लिए, 2n < (n + 2)!
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यदि xn − 1.x − k, से भाज्य है, तो k का न्यूनतम पूर्णांक है:
