Question

गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:

प्रत्येक प्राकृत संख्या n के लिए, n(n² + 5), संख्या 6 से भाज्य है।

Answer 1

P(n) : n(n² + 5) प्रत्येक प्राकृतिक संख्या n के लिए 6 से विभाज्य होने दें।

अब P(1) : 1(1² + 5) = 6, जो 6 से विभाज्य है, इसलिए P(1) सत्य है।

आइए हम मान लें कि P(n) कुछ प्राकृतिक n = k संख्या के लिए यह सही है।

P(k) : k(k² + 5)को 3 से विभाज्य होने दें।

अथवा k(k² + 5) = 6m, m ∈ N .........(i)

साबित करो, P(k + 1) सत्य है।

​P(K + 1) : (K + 1)[(K + 1)² + 5]

= (K + 1)[K² + 2K + 6]

= K³ + 3K² + 8K + 6​

आगे हल करें,

​= (K² + 5K) + 3K² + 3K + 6

= K(K² + 5) + 3(K² + K + 2)

= (6m) + 3(K² + K + 2)​ ..........(using (i))

यह समझें कि, K² + K + 2 हमेशा सम होता है यदि k विषम या सम है।

3(K² + K + 2) , जो 6 से विभाज्य है और इसलिए, (6m) + 3(K² + K + 2) यह 6 से विभाज्य है।

इस प्रकार, जहाँ भी P(k + 1) सत्य है वह P(k) सत्य है।

इसलिए, गणितीय प्रेरण के सिद्धांत से सभी प्राकृतिक संख्याओं n के लिए P(n) सही है।