Question

सभी प्राकृत संख्या k ≥ 2 के लिए अनुक्रम d₁, d₂, d₃ ..., d₁ = 2 तथा `d_k = (d_{k - 1})/k` द्वारा परिभाषित है। सिद्ध कीजिए कि सभी n ∈ N के लिए, `d_n = 2/(n!)`.

Answer 1

पता है कि d₁ = 2 और `d_k = (d_{k − 1})/k`

देखिए P(n) : d_n = `2/{n!}`

P(1) के लिए गणना करें।

⇒ d₁​ = `2/{1!}`

= 2​

इसलिए, P(1) यह सच है।

P(k) के लिए गणना करें।

⇒ `d_k = 2/{k!}`

इसलिए, यह भी सच है।

⇒ `d_k = (d_{k−1})/k`

k = k + 1 स्थानापन्न करे।​

`d_{k + 1} ​= d_{k + 1 − 1}/(k + 1) = d_k/(k + 1) = 1/(k + 1) . 2/(k!) = 2/((k + 1)!)​`

इसलिए, P(k + 1) यह सच है।

इसलिए, P(k) जब भी सत्य हो, P(k + 1)सत्य है।

यह साबित होता है कि, सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए `d_n = 2/{n!}` सही है।