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प्रश्न
सभी n ϵ N के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि:
1.2 + 2.3 + 3.4+ ... + n(n+1) = `[(n(n+1)(n+2))/3]`
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उत्तर
माना
P(n) = 1.2 + 2.3 + 3.4 +…. n(n + 1) = `((n(n+1)(n+2))/3)`
यदि n = 1, बायाँ पक्ष = 1.2 = 2
दायाँ पक्ष = `(n(n +1)(n +2))/3 = (1.2.3)/3 = 2`
∴ P(n), n = 1 के लिए सत्य है।
मान लीजिए P(n), n = k के लिए सत्य है
∴ `1.2 + 2.3 + 3.4 + .... + k (k + 1) = (k(k+1)(k + 2))/3`
(k + 1) वाँ पद = (k +1)(k +2)
दोनों के पक्षों में (k+ 1) (k +2) जोड़ने पर,
1.2 + 2.3 + 3.4 + .... + k(k + 1) + (k +1)(k +2)
= `(k(k +1)(k +2))/3 + (k +1)(k +2)`
= `(k +1) (k +2) (k/3 +1)`
= `((k +1)(k +2)(k +3))/3`
= `((k + 1)(k + 1 + 1)(k + 1 + 2))/3`
∴P(n), n = k +1 के लिए सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।
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102n-1 + 1, संख्या 11 से भाज्य है।
x2n – y2n, (x + y) से भाज्य है।
32n+2 – 8n- 9, संख्या 8 से भाज्य है।
(2n + 7) < (n+ 3)2
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सभी प्राकृत संख्याओं n ≥ 2 के लिए सिद्ध कीजिए कि `sum_(t = 1)^(n - 1) t(t + 1) = (n(n - 1)(n + 1))/3`
आगमन विधि द्वारा सिद्ध कीजिए कि सभी प्राकृत संख्याओं n के लिए, sinα + sin(α + β) + sin(α + 2β)+ ... + sin(α + (n – 1)β)
= `(sin (alpha + (n - 1)/2 beta)sin((nbeta)/2))/(sin(beta/2))`
बताइए कि गणितीय आगमन द्वारा कथन P(n) : 12 + 22 + ... + n2 = `(n(n + 1)(2n + 1))/6` की निम्नलिखित उपपत्ति सत्य है या असत्य है।
उपपत्ति गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा n = 1 के लिए P(n) सत्य है, क्योंकि
`1^2 = 1 = (1(1 + 1)(2.1 + 1))/6` पुन: किसी k ≥ 1 के लिए k2 = `(k(k + 1)(2k + 1))/6`
अब हम सिद्ध करेंगे कि `(k + 1)^2 = ((k + 1)((k + 1) + 1)(2(k + 1) + 1))/6`
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