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प्रश्न
सभी n ϵ N के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि `1+ 1/((1+2)) + 1/((1+2+3)) +...+ 1/((1+2+3+...n)) = (2n)/(n +1)`
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उत्तर
मान लो की दिया गया कथन हो P(n), अर्थात,
`P(n) 1+ 1/((1+2)) + 1/((1+2+3)) +...+ 1/((1+2+3+...n)) = (2n)/(n +1)`
n = 1 के लिए, हमारे पास है
P(1) = `P(1): 1 = (2.1)/(1+1) = 2/2 = 1`
जो की सत्य है।
किसी धन पूर्णांक k के लिए कल्पना कीजिये की P(k) सत्य है, अर्थात
`1 + (1)/(1 + 2) + (1)/(1 + 2 + 3) +.... + (1)/(1 + 2 +3 + ...k ) = (2(k))/(k+1)`
अब यह सिद्ध करेंगे P(K+1) भी सत्य है,
विचार करें
`1 + (1)/(1 +2) + (1)/(1 + 2 + 3) + ....+ (1)/(1 + 2 + 3 + ......k + k + 1) = (2(k +1))/(k + 1 + 1)`
= `1 + (1)/(1 + 2) + (1)/(1 + 2 +3) + .... + (1)/(1 + 2 + 3 + .... k) + (1)/(1 + 2 + 3+ .... k + k +1)`
= `(2k)/(k + 1) + (1)/(1 + 2 + 3 + .... k + k +1)`
= `(2k)/(k + 1) + (2k)/((k +1)(k + 2)n)`
= `2/(k + 1)[k + (1)/(k + 2)]`
= `2/(k + 1) [(k(k + 2) + 1)/(k +2)]`
= `2 (k +1)[ (k + 1)^2/(k + 2)]`
= `(2(k + 1))/(k + 2)`
इससे सिद्ध हुआ कि P(n), n = k + 1 के लिए सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।
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n(n + 1)(n + 5), संख्या 3 का एक गुणज है।
102n-1 + 1, संख्या 11 से भाज्य है।
32n+2 – 8n- 9, संख्या 8 से भाज्य है।
गणितीय आगमन के सिद्धांत का प्रयोग करके, दिए गए कथन को सिद्ध कीजिए (n ∈ N):
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गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा सिद्ध कीजिए कि श्रेणी (series), 12 + 2 × 22 + 32 + 2 × 42 + 52 + 2 × 62 ... के n पदों का योगफल Sn, निम्नलिखित प्रकार है, Sn = `{{:((n(n + 1)^2)/2",", "यदि n सम है"),((n^2(n + 1))/2",", "यदि n विषम है"):}`
मान लीजिए कि P(n) : “2n < (1 × 2 × 3 × ... × n)”, तो न्यूनतम धन पूर्णाक, जिसके लिए P(n) सत्य है,
एक ऐसे कथन P(n) का उदाहरण दीजिए, जो सभी n ≥ 4 के लिए सत्य है किंतु P(1), P(2) तथा P(3) सत्य नहीं है। अपने उत्तर का औचित्य भी बताइए।
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:
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गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:
प्रत्येक प्राकृत संख्या n के लिए, n(n2 + 5), संख्या 6 से भाज्य है।
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:
सभी प्राकृत संख्या n ≥ 5 के लिए, n2 < 2n.
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:
सभी प्राकृत संख्या n के लिए, 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n2 + n.
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:
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सभी n ∈ N के लिए, सिद्ध कीजिए कि, cosθ cos2θ cos22θ ... cos2n−1θ = `(sin2^nθ)/(2^nsinθ)`.
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यदि सभी n ∈ N के लिए, 10n + 3.4n + 2 + k, संख्या 9 से भाज्य है, तो k का लघुतम पूर्णांक मान ______।
यदि P(n) : 2n < n!, n ∈ N, तो P(n) सभी n ≥ ______ के लिए सत्य है।
बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य है या असत्य है। औचित्य भी बताइए:
मान लीजिए कि P(n) एक कथन है और मान लीजिए कि किसी प्राकृत संख्या k के लिए P(k) ⇒ P(k + 1), तो P(n) सभी n ∈ N के लिए सत्य है।
