सभी प्राकृत संख्या k ≥ 2 के लिए, एक अनुक्रम a1, a2, a3 ...., a1 = 3 तथा ak = 7ak − 1 द्वारा परिभाषित है। सिद्ध कीजिए कि सभी प्राकृत संख्या n के लिए an = 3.7n−1.

प्रश्न

सभी प्राकृत संख्या k ≥ 2 के लिए, एक अनुक्रम a₁, a₂, a₃ ...., a₁ = 3 तथा a_k = 7a_{k − 1} द्वारा परिभाषित है। सिद्ध कीजिए कि सभी प्राकृत संख्या n के लिए a_n = 3.7ⁿ⁻¹.

प्रमेय

उत्तर

पता है कि, a₁ = 3

a₂ प्राप्त करे।

⇒ a₂ = 7a_{2 − 1}

= 7a₁

= 21

⇒ a₃ = 7a₃ − 1

= 7a₂

= 147

समझलो, इसी तरह a₄, a₅, a₆, ... गणना करें।

देखिए P(n) : a_n = 3.7^{n − 1}, ∀ n ∈ N

P(2) के लिए गणना करें।

⇒ a₂ = 3.7^{2 − 1} = 21

इसलिए, 21 = 21

इसलिए, यह P(2)सच है।

P(k) के लिए गणना करें।

⇒ a_k = 3.7^{k − 1}

इसलिए, यह भी सच है।

⇒ a_k = 7a_{k − 1}

k = k + 1 स्थानापन्न करे ।

⇒ a_{k + 1} = 7a_k

= 7(3.7^{k − 1})

= `3.7^{(k + 1) − 1}`

इसलिए, P(k + 1) यह सच है।

इसलिए, P(k) जब भी सत्य हो, P(k + 1) सत्य है।

यह साबित होता है कि, सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए a_n = 3.7ⁿ⁻¹ सही है।

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गणितीय आगमन का सिद्धांत

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अध्याय 4: गणितीय आगमन का सिद्धांत - प्रश्नावली [पृष्ठ ७१]

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एनसीईआरटी एक्झांप्लर Mathematics [Hindi] Class 11

अध्याय 4 गणितीय आगमन का सिद्धांत
प्रश्नावली | Q 17. | पृष्ठ ७१

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