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प्रश्न
सभी n ϵ N के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि:
`1/(1.2.3) + 1/(2.3.4) + 1/(3.4.5) + ...+ 1/(n(n+1)(n+2)) = (n(n+3))/(4(n+1) (n+2))`
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उत्तर
माना
P(n) : `1/(1.2.3) + 1/(2.3.4) + 1/(3.4.5) + ...+ 1/(n(n+1)(n+2)) = (n(n+3))/(4(n+1) (n+2))`
n = 1 के बायाँ पक्ष = `1/(1.2.3) = 1/6`
दायाँ पक्ष = `(n(n+3))/(4(n+1) (n+2))`
= `1.4/(4.2.3) = 1/6`
⇒ P(n), n = 1 के लिए सत्य है।
मान लीजिए P(n), n = k के लिए सत्य है।
∴ `1/(1.2.3) + 1/(2.3.4) + 1/(3.4.5) + ...+ 1/(k(k+1)(k+2)) = (k(k+3))/(4(k+1) (k+2))`
(k + 1) वॉ पद = `1/((k +1)(k +2)(k +3))` को दोनों पक्षों में जोड़ने पर,
`1/(1.2.3) + 1/(2.3.4) + 1/(3.4.5) + ...+ 1/(k(k+1)(k+2)) = 1/((k +1)(k+2)(k + 3))`
= `(k(k+3))/(4(k + 1)(k+2)) + 1/((k+1)(k+2)(k +3))`
= `1/((k +1)(k +2))[(k(k+3))/4 + 1/(k+3)]`
= `(k(k + 3)^2 + 4)/(4(k+1)(k +2)(k +3))`
= `(k(k+3)^2+4)/(4(k+1)(k+2)(k +3)`
= `(k(k^2 + 6k + 9 + 4))/(4 (k+1)(k +2)(k +3)`
= `(k^3 + 6k^2 + 9k +4)/(4(k+1)(k +2)(k +3)`
= `((k+1)(k^2 + 5k +4))/(4(k+1)(k+2)(k +3)`
= `((k + 4)(k +1))/(4(k+2)(k+3)`
= `((k +1) (k + 1+ 3))/(4(k +1+1)(k + 1+2)`
⇒ P(n), n = k + 1 के लिए सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।
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सभी n ∈ N के लिए, सिद्ध कीजिए कि, `sintheta + sin2theta + sin3theta + ... + sinntheta = ((sin ntheta)/2 sin(n + 1)/2theta)/(sin theta/2)`
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