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Question
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:
प्रत्येक प्राकृत संख्या n के लिए, 4n − 1 संख्या 3 से भाज्य है।
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Solution
P(n) : 4n – 1 प्रत्येक प्राकृतिक संख्या n के लिए 3 से विभाज्य होने दें।
अब P(1) : 41 – 1 = 3 , जो 3 से विभाज्य है, इसलिए P(1) सत्य है।
आइए हम मान लें कि P(n) कुछ प्राकृतिक n = k. संख्या के लिए यह सही है।
P(K) : 4k - 1 को 3 से विभाज्य होने दें।
अथवा
4k - 1 = 3m, m ∈ N ........(i)
साबित करो, P(k + 1) सत्य है।
P(k + 1) : 4k + 1 − 1
= 4k − 4 − 1
= 4(3m + 1) − 1 [(i) का उपयोग करते हुए]
= 12m + 3
= 3(4m + 1), जो 3 से विभाज्य है। इस प्रकार, जहाँ भी P(k + 1) सत्य है वह P(k) सत्य है।
इसलिए, गणितीय प्रेरण के सिद्धांत से सभी प्राकृतिक संख्याओं n के लिए P(n) सही है।
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