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Question
सभी n ϵ N के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि:
`1/3.5 + 1/5.7 + 1/7.9 + ...+ 1/((2n + 1)(2n +3)) = n/(3(2n +3))`
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Solution
माना
P(n) : `1/3.5 + 1/5.7 + 1/7.9 + ...+ 1/((2n + 1)(2n +3)) = n/(3(2n +3))`
n = 1 के लिए बायाँ पक्ष = `1/(3.5) = 1/(15)`
दायाँ पक्ष = `n/(3(2n +3)) = 1/3.5 = 1/15`
∴ P(n), n = 1 के लिए सत्य है
मान लिया P(n), n = k के लिए सत्य है।
∴ `1/3.5 + 1/5.7 + 1/7.9 + ...+ 1/((2k + 1)(2k +3)) = k/(3(2k +3))`
(k + 1) वाँ पद = `1/([2(k +1) + 1] [2(k +1)+3)] = 1/((2k + 3)(2k +5)) ` दोनों के पक्षों में जोड़ने पर,
`1/3.5 + 1/5.7 + 1/7.9 + ...+ 1/((2k + 1)(2k +3)) +1/((2k +3)(2k+5))`
= `k/(3(2k +3)) + 1/((2k +3)(2k+5))`
= `1/(2k +3) [(k(2k +5)+3)/(3(2k +5))]`
= `(2k^2 + 5k +3)/(3(2k +3)(2k +5)`
= `((k+1)(2k +3))/(3(2k +3)(2k +5)`
= `(k +1)/(3[2(k +1)+3])`
⇒ P(n), n = k + 1 के लिए सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।
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