Question

बीजगणित (algebra) के वितरण नियम द्वारा सभी वास्तविक संख्याओं c, a₁ और a₂ के लिए, c(a₁ + a₂) = ca₁ + ca₂. इस वितरण नियम तथा गणितीय आगमन का प्रयोग करके, सिद्ध कीजिए कि, सभी प्राकृत संख्याओं n ≥ 2, के लिए, यदि c, a₁, a₂,..., a_n वास्तविक संख्याएँ हैं, तो c(a₁ + a₂ + ... + a_n) = ca₁ + ca₂ + ... + ca_n

Answer 1

मान लीजिए कि P(n) प्रदत्त कथन है, अर्थात्‌ सभी प्राकृत संख्याओं n ≥ 2 के लिए यदि c, a₁, a₂, ......a_n ∈ R, तो P(n) : c(a₁ + a₂ + ... + a_n) = ca₁ + ca₂ + ... ca_n.

हम देखते हैं कि P(2) सत्य है, क्योंकि,

c(a₁ + a₂) = ca₁ + ca₂ (वितरण नियम द्वारा)

मान लीजिए कि किसी-किसी प्राकृत संख्या k के लिए P(n) सत्य है, जहाँ k > 2, अर्थात्‌, P(k) : c(a₁ + a₂ + ... + a_k) = ca₁ + ca₂ + ... + ca_k

अब P(k + 1) को सत्य सिद्ध करने के लिए, हम देखते हैं कि,

P(k + 1) : c(a₁ + a₂ + ... + a_k + a_{k + 1})

= c((a₁ + a₂ + ... + a_k) + a_{k + 1})

= c(a₁ + a₂ + ... + a_k) + ca_k+1    ........(वितरण नियम द्वारा)

= ca₁ + ca₂ + ... + ca_k + ca_{k + 1}

अतएव जब कभी P(k) सत्य है, P(k + 1) भी सत्य है।

अतः गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा, P(n) सभी प्राकृत संख्याओं n ≥ 2 के लिए सत्य है।