Question

आगमन विधि द्वारा सिद्ध कीजिए कि सभी प्राकृत संख्याओं n के लिए, sinα + sin(α + β) + sin(α + 2β)+ ... + sin(α + (n – 1)β)

= `(sin (alpha + (n - 1)/2 beta)sin((nbeta)/2))/(sin(beta/2))`

Answer 1

मान लीजिए कि सभी प्राकृत संख्याओं n के लिए, P(n) : sinα + sin(α + β) + sin(α + 2β) + ... + sin(α + (n – 1)β)

= `(sin (alpha + (n - 1)/2 beta)sin((nbeta)/2))/(sin(beta/2))`

हम देखते हैं कि P(1) सत्य है, क्योंकि

P(1) : sinα = `(sin(alpha + 0) sin  beta/2)/(sin  beta/2)`

मान लीजिए कि किसी प्राकृत संख्या के लिए सत्य है, अर्थात्,

P(k) : sinα + sin(α + β) + sin(α + 2β) + ... + sin(α + (k – 1)β)

= `(sin (alpha + (k - 1)/2 beta)sin((kbeta)/2))/(sin(beta/2))`

अब P(k + 1) को सत्य सिद्ध करने के लिए, हम देखते हैं कि,

P(k + 1) : sinα + sin(α + β) + sin(α + 2β) + ... + sin(α + (k – 1)β) + sin(α + kβ)

= `(sin (alpha + ("k" - 1)/2 beta)sin((kbeta)/2))/(sin(beta/2)) + sin(alpha + kbeta)`

= `(sin(alpha + (k - 1)/2 beta) sin  (kbeta)/2 + sin(alpha + kbeta) sin  beta/2)/(sin  beta/2)`

= `(cos(alpha - beta/2) - cos(alpha + kbeta - beta/2) + cos(alpha + kbeta - beta/2) - cos(alpha + kbeta + beta/2))/(2sin  beta/2)`

= `(cos(alpha - beta/2) - cos(alpha + kbeta + beta/2))/(2sin  beta/2)`

= `(sin  (alpha + (kbeta)/2)sin  ((kbeta + beta)/2))/(sin  beta/2)`

= `(sin(alpha + (kbeta)/2) sin(k + 1)(beta/2))/(sin  beta/2)`

अतएव, जब कभी P(k) सत्य है, P(k + 1) भी सत्य है।

अतः गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा, सभी प्राकृत संख्या n के लिए P(n) सत्य है।