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Question
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा सिद्ध कीजिए कि श्रेणी (series), 12 + 2 × 22 + 32 + 2 × 42 + 52 + 2 × 62 ... के n पदों का योगफल Sn, निम्नलिखित प्रकार है, Sn = `{{:((n(n + 1)^2)/2",", "यदि n सम है"),((n^2(n + 1))/2",", "यदि n विषम है"):}`
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Solution
यहाँ P(n) : Sn = `{{:((n(n + 1)^2)/2",", "यदि n सम है"),((n^2(n + 1))/2",", "यदि n विषम है"):}`
साथ ही ध्यान दीजिए कि श्रेणी का कोई पद Tn निम्नलिखित प्रकार है,
Tn = `{{:(n^2, "यदि n विषम है।"),(2n^2, "यदि n सम है।"):}`
हम देखते हैं कि P(1) सत्य है, क्योंकि,
P(1) : S1 = 12 = 1 = `(1.2)/2` = `(1^2.(1 + 1))/2`
मान लीजिए कि किसी प्राकृत संख्या k के लिए P(k) सत्य है, अर्थात्,
दशा 1 जब k विषम है, तो k + 1 सम है। इस प्रकार
P(k + 1) : Sk + 1 = [12 + 2 × 22 + ... + k2] + 2 × (k + 1)2
= `(k^2(k + 1))/2 + 2 xx (k + 1)^2`
= `((k + 1))/2 [k^2 + 4(k + 1)]` .....(क्योंकि k विषम है, 12 + 2 × 22 + ... + k2 = `k^2 ((k + 1))/2`)
= `(k + 1)/2 [k^2 + 4k + 4]`
= `(k + 1)/2 (k + 2)^2`
= `(k + 1) ([(k + 1) + 1]^2)/2`
अतएव, उस दशा में, जब k विषम है, P(k + 1) सत्य है, जब कभी P(k) सत्य है।
दशा 2 जब k सम है, तो k + 1 विषम है।
अब P(k + 1) : Sk+1 = [12 + 2 × 22 + ... + 2.k2] + (k + 1)2
= `(k(k + 1)^2)/2 + (k + 1)^2` क्योंकि k सम है, 12 + 2 × 22 + ... + 2k2 = `k(k + 1)^2/2`)
= `((k + 1)^2 (k + 2))/2`
= `((k + 1)^2 ((k + 1) + 1))/2`
इसलिए उस दशा में, जब k सम है, P(k + 1) सत्य है, जब कभी P(k) सत्य है। अतएव सभी प्राकृत संख्याओं k के लिए, P(k + 1) सत्य है, जब कभी P(k) सत्य है।
अतः P(n) सभी प्राकृत संख्याओं n के लिए सत्य है।
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