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Question
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:
सभी प्राकृत संख्या n के लिए 32n − 1 संख्या 8 से भाज्य है।
Theorem
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Solution
P(n) : 32n − 1 प्रत्येक प्राकृतिक संख्या n के लिए 8 से विभाज्य होने दें।
अब P(1) : 32 − 1 = 8 जो 8 से विभाज्य है, इसलिए P(1) सत्य है।
आइए हम मान लें कि P(n) कुछ प्राकृतिक n = k संख्या के लिए यह सही है।
P(k) : 32k − 1 को 8 से विभाज्य होने दें।
अथवा 32k − 1 = 8m, m ∈ N ...........(i)
साबित करो P(k + 1) सत्य है।
P(k + 1) : `3^{2("k" + 1)} − 1`
= 32k × 32 − 1
= 9(8m + 1) − 1
= 72m + 9 − 1
= 72m + 8
= 8(9m + 1) जो 8 से विभाज्य है।
इस प्रकार, जहाँ भी P(k + 1) सत्य है वह P(k) सत्य है।
इसलिए, गणितीय प्रेरण के सिद्धांत से सभी प्राकृतिक संख्याओं n के लिए P(n) सही है।
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गणितीय आगमन का सिद्धांत
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