Question

सभी n ∈ N के लिए, सिद्ध कीजिए कि,

cosα + cos(α + β) + cos(α + 2β) + ... + cos(α + (n – 1)β) = `(cos(alpha + ((n  - 1)/2)beta)sin((nbeta)/2))/(sin  beta/2)`

Answer 1

देखिए P(n) : cosα + cos(α + β) + cos(α + 2β) + ... + cos[α + (n – 1)β] = `(cos[alpha + ((n - 1)/2)beta][sin  (nbeta)/2])/(sin  beta/2)`

इसलिए, P(1) यह सच है।

⇒ P(k) : cosα + cos(α + β) + cos(α + 2β) + ... + cos[(α + (k – 1)β] = `cos[alpha + ((k - 1)/2)betasin((kbeta)/2)]/(sin  beta/2)`

इसलिए, यह भी सच है।

⇒ P(k + 1) : cosα + cos(α + β) cos(α + 2β) + .... + cos[α + (k - 1)β] + cos[α + (k + 1 - 1)β] = `(cos[alpha + ((k - 1)/2)beta]sin((kbeta)/2))/(sin  beta/2) + cos(alpha + kbeta)`

आगे हल करें।

= `(cos[alpha + ((k - 1)/2)beta]sin((kbeta)/2))/(sin  beta/2) + cos(alpha + kbeta)`

= `(2cos[alpha + ((k - 1)/2)beta]sin((kbeta)/2) + 2cos(alpha + kbeta).sin  beta/2)/(2 sin  beta/2)`

= `(sin[alpha + kbeta - beta/2] - sin[alpha - beta/2] + sin[alpha + kbeta + beta/2] - sin[alpha + kbeta - beta/2])/(2sin  beta/2)`

= `(sin[alpha + kbeta + beta/2] - sin(alpha - beta/2))/(2sin  beta/2)`

आगे हल करें।

= `(2cos(alpha + (kbeta)/2)sin(k + 1)beta/2)/(2sin  beta/2)`

= `(cos(alpha + (kbeta)/2)sin(k + 1)beta/2)/(sin  beta/2)`

= `(cos[alpha + ((k + 1 - 1)/2)beta]sin((k + 1)/2)beta)/(sin  beta/2)`

इसलिए, P(k + 1) के लिए यह सच है।

इसलिए, P(k) जब भी सत्य हो, P(k + 1)सत्य है।

यह साबित होता है कि, सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए cosα + cos(α + β) + cos(α + 2β) + ... + cos(α + (n – 1)β) = `(cos(alpha + ((n  - 1)/2)beta)sin((nbeta)/2))/(sin  beta/2)` सही है।