Question

गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:

सभी प्राकृत संख्या n ≥ 5 के लिए, n² < 2ⁿ.

Answer 1

देखिए, प्रत्येक प्राकृतिक संख्या P(n) : n² < 2ⁿ के लिए यह n ≥ 5 से विभाज्य है।

अब, P(5) : 5² < 2⁵ और 25 < 32 सही है।

इसलिए, P(5)सही है।

आइए हम मान लें कि कुछ प्राकृतिक संख्या n = k के लिए P(n) यह सही है।

∴ P(k) : k² < 2^k .........(i)

साबित करो, P(k + 1) सही है।

(​​k + 1)² = k² + 2k + 1 < 2^k + 2k + 1​ .......(ii)​

2^k + 2k + 1 < 2^{k + 1} ..........(iii)

∴ 2^k + 2k + 1 < 2 × 2^k​​

2k + 1 < 2^k, जो सभी k > 5 के लिए सत्य है।

समीकरण (ii) और (iii) का उपयोग करें,

(k + 1)² < 2^{k + 1}

इसलिये,जहाँ भी P(k) सत्य है P(k + 1) सत्य है।

इसलिए, गणितीय प्रेरण के सिद्धांत P(n) से सभी प्राकृतिक संख्याओं n के लिए सही है, n ≥ 5