Advertisements
Advertisements
Question
यदि सभी n ∈ N के लिए, 10n + 3.4n + 2 + k, संख्या 9 से भाज्य है, तो k का लघुतम पूर्णांक मान ______।
Options
5
3
7
1
Advertisements
Solution
यदि सभी n ∈ N के लिए, 10n + 3.4n + 2 + k, संख्या 9 से भाज्य है, तो k का लघुतम पूर्णांक मान 5 है।
स्पष्टीकरण:
देखिए, P(n) = 10n + 3.4n + 2 + k।
यह जान लें कि, यह 9 से भाज्य है, ∀ n ∈ N।
P(1) के लिए गणना करें।
⇒ P(1) = 101 + 3.41 + 2 + k
= 10 + 3.64 + k
= 202 + k
पता है कि, यह भी 9 से विभाज्य है।
यह समझें कि, यदि (202 + k), 9 से विभाज्य है, तो k को 5 के बराबर होना चाहिए।
= 202 + 5 = 207 जो 9 से विभाज्य है।
इसलिए, k का लघुतम पूर्णांक k = 5 है।
सही विकल्प है 5 है।
APPEARS IN
RELATED QUESTIONS
सभी n ∈ N के लिए गणितीय प्रेरण के सिद्धांत का उपयोग करके निम्नलिखित को सिद्ध करें:
`1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = ((n(n+1))/2)^2`
सभी n ϵ N के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि:
`1.3 + 2.3^2 + 3.3^3 + .... + n.3^n = ((2n - 1)3^(n +1) + 3)/4`
सभी n ϵ N के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि:
1.3 + 3.5 + 5.7 + ...+(2n -1)(2n + 1) = `(n(4n^2 + 6n -1))/3`
सभी n ϵ N के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि: `1/2.5 + 1/5.8 + 1/8.11 + ... + 1/((3n - 1)(3n + 2)) = n/(6n + 4)`
सभी n ϵ N के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि:
`1/(1.2.3) + 1/(2.3.4) + 1/(3.4.5) + ...+ 1/(n(n+1)(n+2)) = (n(n+3))/(4(n+1) (n+2))`
सभी n ϵ N के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि:
`(1+ 1/1)(1+ 1/2)(1+ 1/3)...(1+ 1/n) = (n + 1)`
सभी n ϵ N के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि:
`1^2 + 3^2 + 5^2 + ... + (2n -1)^2 = (n(2n - 1) (2n + 1))/3`
सभी n ϵ N के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि:
`1/3.5 + 1/5.7 + 1/7.9 + ...+ 1/((2n + 1)(2n +3)) = n/(3(2n +3))`
सभी n ϵ N के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि:
`1/1.4 + 1/4.7 + 1/7.10 + ... + 1/((3n - 2)(3n + 1)) = n/((3n + 1))`
(2n + 7) < (n+ 3)2
गणितीय आगमन के सिद्धांत का प्रयोग करके, दिए गए कथन को सिद्ध कीजिए (n ∈ N):
1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n2
गणितीय आगमन के सिद्धांत का प्रयोग करके, दिए गए कथन को सिद्ध कीजिए (n ∈ N):
सभी प्राकृत संख्याओं n ≥ 3 के लिए 2n + 1 < 2n.
बीजगणित (algebra) के वितरण नियम द्वारा सभी वास्तविक संख्याओं c, a1 और a2 के लिए, c(a1 + a2) = ca1 + ca2. इस वितरण नियम तथा गणितीय आगमन का प्रयोग करके, सिद्ध कीजिए कि, सभी प्राकृत संख्याओं n ≥ 2, के लिए, यदि c, a1, a2,..., an वास्तविक संख्याएँ हैं, तो c(a1 + a2 + ... + an) = ca1 + ca2 + ... + can
एक विद्यार्थी को किसी कथन P(n) को गणितीय आगमन द्वारा सिद्ध करने के लिए कहा गया। उसने सिद्ध किया कि, सभी k > 5 ∈ N के लिए P(k + 1) सत्य है, जब कभी P(k) सत्य है और यह कि P(5) भी सत्य है। इसके आधार पर उसने निष्कर्ष निकाला कि P(n) सत्य है,
किसी ऐसे कथन P(n) का उदाहरण दीजिए जो n के सभी मानों के लिए सत्य है। अपने उत्तर का औचित्य बताइए।
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:
सभी प्राकृत संख्या n के लिए, 23n − 1, संख्या 7 से भाज्य है।
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:
सभी प्राकृत संख्या n के लिए, n3 − 7n + 3, संख्या 3 भाज्य है।
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:
सभी प्राकृत संख्या n के लिए 32n − 1 संख्या 8 से भाज्य है।
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:
सभी प्राकृत संख्या n के लिए, 2n < (n + 2)!
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:
सभी प्राकृत संख्या n के लिए, 1 + 5 + 9 + ... + (4n − 3) = n(2n − 1)
सभी प्राकृत संख्या k ≥ 2 के लिए, एक अनुक्रम a1, a2, a3 ...., a1 = 3 तथा ak = 7ak − 1 द्वारा परिभाषित है। सिद्ध कीजिए कि सभी प्राकृत संख्या n के लिए an = 3.7n−1.
सभी n ∈ N के लिए, सिद्ध कीजिए कि, `n^5/5 + n^3/3 + (7n)/15` एक प्राकृत संख्या है।
यदि P(n) : 2n < n!, n ∈ N, तो P(n) सभी n ≥ ______ के लिए सत्य है।
बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य है या असत्य है। औचित्य भी बताइए:
मान लीजिए कि P(n) एक कथन है और मान लीजिए कि किसी प्राकृत संख्या k के लिए P(k) ⇒ P(k + 1), तो P(n) सभी n ∈ N के लिए सत्य है।
