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Question
सभी प्राकृत संख्या n > 1 के लिए सिद्ध कीजिए कि `1/(n + 1) + 1/(n + 2) + ... + 1/(2n) > 13/24`.
Theorem
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Solution
देखिए `P(n) : 1/(n + 1) + 1/(n + 2) + ... + 1/(2n) > 13/24`, ∀ n ∈ N
⇒ P(2) : `1/(2 + 1) + 1/(2 + 2) > 13/24`
⇒ `1/3 + 1/4 > 13/24`
⇒ `7/12 > 13/24`
⇒ `14/24 > 13/24`
इसलिए, P(2) लिए यह सच है।
⇒ P(k) : `1/(k + 1) + 1/(k + 2) + ... + 1/(2k) > 13/24`
इसलिए, P(k) लिए यह सच है।
⇒ `P(k + 1) : 1/(k + 1) + 1/(k + 2) + ... + 1/(2k) + 1/(2(k + 1)) > 13/24`
इसलिए, `1/(k + 1) + 1/(k + 2) + ... + 1/(2k) + 13/24`
इसलिए, `1/(k + 1) + 1/(k + 2) + ... + 1/(2k) + 1/(2(k + 1)) > 13/24`
इसलिए, P(k + 1) लिए यह सच है।
इसलिए, P(k) जब भी सत्य हो, P(k + 1) सत्य है।
यह साबित होता है कि, सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए `1/(n + 1) + 1/(n + 2) + ... + 1/(2n) > 13/24` सही है।
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गणितीय आगमन का सिद्धांत
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