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Question
सभी n ϵ N के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि:
`a + ar + ar^2 + ... + ar^(n -1) = (a(r^n - 1))/(r -1)`
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Solution
मान लीजिए `P(n) = a + ar + ar^2 + ... + ar^(n -1) = (a(r^n - 1))/(r -1)`
n = 1 के लिए बायाँ पक्ष = a
दायाँ पक्ष = `(a(r^n - 1))/(r -1) = a`
⇒ P(n), n = 1 के लिए सत्य है।
मान लीजिए P(n), n = k के लिए सत्य है।
∴ `a + ar + ar^2 + ... + ar^(k -1) = (a(1 - r^k))/(1-r)`
(k +1) वॉ पद = `ar^k` को दोनों पक्षों में जोड़ने पर,
`a + ar + ar^2 + ... + ar^(k -1) = (a(1 - r^k))/(1 -r) + ar^k`
= `a [(1-r^k)/(1 - r) + r^k]`
= a`[(1 - r^k + r^k - r^k + 1)]/(1-r)`
= `(a(1 - r^(k+1)))/(1-r)`
⇒ P(n), n = k +1 के लिए भी सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।
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