Question

गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न के कथन को सिद्ध कीजिए:

सभी प्राकृत संख्या n के लिए, n³ − 7n + 3, संख्या 3 भाज्य है।

Answer 1

P(n) : n³ − 7n + 3 प्रत्येक प्राकृतिक संख्या n के लिए 3 से विभाज्य होने दें।

अब P(1) : (1)³ − 7(1) + 3 = −3 जो 3 से विभाज्य है, इसलिए P(1) सत्य है।

आइए हम मान लें कि P(n) कुछ प्राकृतिक n = k संख्या के लिए यह सही है।

P(k) = K³ – 7k + 3 को 3 से विभाज्य होने दें।

अथवा K³ – 7k + 3 = 3m, m ∈ N ..........(i)

साबित करो P(k + 1) सत्य है।

P(k + 1) : (k + 1)³ − 7(k + 1) + 3

= k³ + 1 + 3k(k + 1) − 7k − 7 + 3

= k³ − 7k + 3 + 3k(k + 1) − 6

= 3m + 3[k(k + 1) − 2]​

= 3[m + (k(k + 1) − 2)], जो 3 से विभाज्य है।

इस प्रकार, जहाँ भी P(k + 1) सत्य है वह P(k) सत्य है।

इसलिए, गणितीय प्रेरण के सिद्धांत से सभी प्राकृतिक संख्याओं n के लिए P(n) सही है।