Mathematics (गणित) Standard - 30/3/1 2025-2026 Hindi Medium Class 10 [कक्षा १०] Question Paper Solution

द्विघात समीकरण (x − 1)² = 16 के मूल हैं ______. 

5, 3

4, −4

5, −3

−5, 3

दी गई आकृति में, केन्द्र O तथा 3 cm त्रिज्या वाले वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ PQ तथा PR खींची गई हैं। यदि ∠QPR = 60° है, तो प्रत्येक स्पर्श रेखा की लम्बाई है:

`3sqrt3` cm

3 cm

6 cm

`sqrt3` cm

0, 2

केवल 2 

−2

1

(3 × 11 × 13 + 3):

एक अभाज्य संख्या है।  

13 से विभाजित होती है। 

एक भाज्य संख्या है। 

एक विषम संख्या है। 

दो पासे एक साथ फेंके जाते हैं। प्राप्त संख्याओं का योगफल 6 से भाज्य होने की प्रायिकता है:

`1/6`

`11/36`

`1/12`

`1/4`

59 

59.5

60

61

एक ठोस घन में से, जिसके प्रत्येक किनारे की लंबाई l है, अधिकतम आकार का शंकु खोदकर निकाला जाता है। शंकु का आयतन है:

`(pil^3)/(12)`

`(pil^3)/(3)`

`l^3(1 - pi/3)`

`(pil^3)/(8)`

समीकरण 2x − 6y = 7 को निरूपित करने वाली रेखा के समांतर एक अन्य रेखा का समीकरण है: 

y = 3x − 7

2x = 9 − 6y

x − 3y = 7

`x = 7/2 - 3y`

यदि किसी मीनार की छाया की लम्बाई उसकी ऊँचाई की `sqrt(3)` गुना है, तो सूर्य का उन्नतांश है:

45°

30°

60°

15°

यदि द्विघात समीकरण `sqrt3x^2 - kx + 2sqrt3 = 0` के मूल वास्तविक तथा समान हैं, तो k का मान हैः

`±sqrt24`

0

4

−5

समांतर श्रेढ़ी (A.P.)  `(-1)/3, 2/3, 5/3, 8/3,` ... का n वाँ पद है:

3n − 4

`n - 4/3`

`(n - 2)/3`

`(n - 4)/3`

दी गई आकृति में, केन्द्र O तथा त्रिज्या r वाले वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखा PT है। यदि ∠POT = 45° है, तो OP की लम्बाई है:

`rsqrt2`

`sqrt2r`

2r

r²

दिया गया है कि Δ ABC ∼ Δ QRP है जहाँ AB = 9 cm, BC = 5 cm तथा PR = 2 cm है। भुजा QR की लम्बाई है:

0.9 cm

`5/18` cm

`10/9` cm

3.6 cm

द्विघात बहुपद p(x) के शुन्यकों का योगफल तथा गुणनफल क्रमशः `(−1)/3` तथा 2 है। बहुपद p(x) है:

3x² − x + 6

`x^2 + 1/3 x − 2`

3x² − x + 2

−3x² − x − 6

दिया गया है कि sin 2α = `sqrt3/2` है। sin 3α का मान है:

`(3sqrt3)/4`

`1/2`

1

`sqrt3/4`

एक बंटन के माध्यक तथा बहुलक क्रमश: 25·92 तथा 26·1 हैं। इस बंटन का माध्य है:

24.75

24.25

24.3

25.5

दी गई आकृति में, ΔABC एक समबाहु त्रिभुज है। बिंदुओं `A(0, (5sqrt3)/2)` तथा D(0, 0) को जोड़ने वाली माध्यिका AD है। बिंदु B तथा C के निर्देशांक (इसी क्रम में) हैं:

(−5, 0), (5, 0)

`((−5)/2, 0), (5/2, 0)`

(−10, 0), (10, 0)

`(−5sqrt3, 0), (5sqrt3, 0)`

`(1/2 tan^2 45° - cos^2 60°)` का मान है:

0

`-1/2`

`1/4`

`-1/4`

अभिकथन (A): किसी वृत्त के केन्द्र से स्पर्श रेखा की न्यूनतम दूरी, त्रिज्या के बराबर होती है।

तर्क (R): त्रिज्या स्पर्श रेखा के लम्बवत् होती है।

अभिकथन (A) और तर्क (R) दोनों सही हैं और तर्क (R), अभिकथन (A) की सही व्याख्या करता है।

अभिकथन (A) और तर्क (R) दोनों सही हैं, परन्तु तर्क (R), अभिकथन (A) की सही व्याख्या नहीं करता है।

अभिकथन (A) सही है, परन्तु तर्क (R) गलत है।

अभिकथन (A) गलत है, परन्तु तर्क (R) सही है।

अभिकथन (A): θ = 45° के लिए, tan 2θ का मान परिभाषित नहीं है।

तर्क (R): sin 90° ≠ cos 90°.

अभिकथन (A) गलत है, परन्तु तर्क (R) सही है।

लकड़ी के उस पट्टे (Plank) की लम्बाई बताइए जिसकी सहायता से 4 m 20 cm तथा 5 m 4 cm लम्बाई को न्यूनतम समय में पूरा-पूरा नापा जा सके। 

एक समांतर श्रेढ़ी (A.P.) में प्रथम पद 32 तथा अन्तिम पद − 10 है। यदि सार्व अन्तर − 2 हो, तो पदों की संख्या एवं उनका योगफल ज्ञात कीजिए।

उस समांतर श्रेढ़ी (A.P.) के प्रथम 28 पदों का योगफल ज्ञात कीजिए जिसका nवाँ पद a_n = 3n − 2 है।

वर्ग ABCD के विकर्ण AC तथा BD बिंदु P पर प्रतिच्छेद करते हैं। बिंदु B तथा D के निर्देशांक क्रमश: (9, −2) तथा (1, 6) हैं।

1. बिंदु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
2. वर्ग की भुजा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

रेखा x + y = 5 पर स्थित उस बिंदु के निर्देशांक बताइए जो (6, 4) तथा (5, 2) से समदूरस्थ हो।

चतुर्भुज ABCD के विकर्ण परस्पर बिंदु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि `(AO)/(OC) = (BO)/(OD)` है। दर्शाइए कि चतुर्भुज ABCD एक समलम्ब है।

7 cm त्रिज्या वाले अर्धगोले पर एक शंकु को अध्यारोपित करके एक खिलौना बनाया गया है। खिलौने की कुल ऊँचाई 31 cm है। खिलौने का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

यदि sin θ + cos θ = `sqrt(3)` है, तो सिद्ध कीजिए कि tan θ + cot θ = 1 है।

सिद्ध कीजिए:

(sin A + sec A)² + (cos A + cosec A)² = (1 + sec A cosec A)²

दी गई आकृति में, 7 cm त्रिज्या वाले वृत्त के केन्द्र पर जीवा AB 120° का कोण अंतरित करती है। ज्ञात कीजिए (i) दीर्घ त्रिज्यखंड OACB का परिमाप, और (ii) छायांकित भाग का क्षेत्रफल, यदि Δ OAB का क्षेत्रफल 21·2 cm² है।

सिद्ध कीजिए कि `sqrt5` एक अपरिमेय संख्या है।

दो ऐसे क्रमागत ऋणात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिए जिनके वर्गों का योगफल 481 है।

बिंदु P(x, 7), बिंदुओं A(− 5, 4)तथा B(7, 9) को जोड़ने वाले रेखाखंड को एक निश्चित अनुपात में विभाजित करता है। वह अनुपात तथा x का मान ज्ञात कीजिए।

बाह्या बिंदु P से, 0 केन्द्र वाले वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ PA तथा PB खींची गई हैं। सिद्ध कीजिए कि ∠APB = 2∠OAB है।

दी गई आकृति में, PA, O केन्द्र वाले वृत्त पर खींची गई ऐसी स्पर्श रेखा है कि OA = 10 cm, AB = 8 cm तथा AB ⊥ OP है। PB की लम्बाई ज्ञात कीजिए। 

निम्नलिखित आँकड़ों का माध्यक 137 है। x तथा y के मान ज्ञात कीजिए, जहाँ सभी बारंबारताओं का योगफल 68 है।

निम्नलिखित आँकड़ों का माध्य तथा बहुलक ज्ञात कीजिए।

बिंदु X, Δ ABC की माध्यिका AD पर स्थित ऐसा बिंदु है कि AX : XD = 2 : 3 है। BX को बढ़ाने पर यह भुजा AC को बिंदु Y पर प्रतिच्छेद करती है। सिद्ध कीजिए कि BX = 4XY है।

निम्नलिखित रैखिक समीकरण युग्म को ग्राफीय विधि से हल कीजिए:

x − 2y = 3, 3x − 8y = 7

पाँच वर्ष पहले आदिल की उम्र भरत की उम्र की तीन गुना थी और दस वर्ष पश्चात् आदिल की उम्र भरत की उम्र की दोगुना होगी। आदिल तथा भरत की वर्तमान उम्र जानने के लिए:

1. उपर्युक्त परिस्थिति के आधार पर रैखिक समीकरण बनाइए।
2. दर्शाइए कि रैखिक समीकरण युग्म संगत है तथा इसका अद्वितीय हल है।
3. आदिल तथा भरत की वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।

समतल भूमि पर खड़ा एक लड़का 60 m लंबी डोरी की सहायता से 30° के उन्नयन कोण पर एक पतंग उड़ा रहा है। दूसरा लड़का 20 m ऊँचे भवन की छत पर खड़ा है और उसी पतंग का उन्नयन कोण 45° पाता है। यदि दोनों लड़के पतंग की विपरीत दिशाओं में खड़े हों, तो भवन के आधार से पहले लड़के की दूरी तथा पतंग की भूमि से ऊँचाई ज्ञात कीजिए। (`sqrt3` = 1.73 लीजिए)

उपर्युक्त आकृति के आधार पर निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए।

(i) मेहराब की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।   [1]

(ii) (क) बहुपद p(x) के शून्यक ज्ञात कीजिए। उपर्युक्त ग्राफ में कौन-से बिंदु शून्यक को दर्शाते हैं?   [2]

अथवा

(ii) (ख) मंच की सतह परमेहराब का विस्तार (span) ज्ञात कीजिए।   [2]

(iii) उपर्युक्त वक्र तथा y-अक्ष के प्रतिच्छेदी बिंदु के निर्देशांक लिखिए।   [1]

(i) इसकी क्या प्रायिकता है कि निकाला गया पत्ता एक फेस कार्ड (face card) है?   [1]

(ii) प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाला गया पत्ता बेगम या बादशाह है।   [1]

(iii) (क) क्या आपको लगता हैकि यदि कोई पत्ता नहीं गिरता, तो निकाले गए पत्ते के बेगम होने की प्रायिकता ज्यादा होती? तर्क सहित उत्तर दीजिए।   [2]

अथवा

(iii) (ख) प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाला गया पत्ता गुलाम है। इसकी तुलना उस स्थिति में निकाली गई प्रायिकता से कीजिए यदि कोई पत्ता नहीं गिरता । किस परिस्थिति में निकाले गए पत्ते के गुलाम होने की प्रायिकता अधिक है?   [2]

उपर्युक्त आकृति के आधार पर निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए:

(i) फव्वारे की कुल ऊँचाई ज्ञात कीजिए।   [1]

(ii) गेंद का आयतन ज्ञात कीजिए।   [1]

(iii) (क) यदि गेंद का एक तिहाई हिस्सा पानी में डूबा हो, तो टंकी में पानी का आयतन ज्ञात कीजिए।   [2]

अथवा

(iii) (ख) बेलनाकार भाग का बाह्य वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल तथा गेंद के पृष्ठीय क्षेत्रफल का योगफल ज्ञात कीजिए।   [2]