Question

रेखा x + y = 5 पर स्थित उस बिंदु के निर्देशांक बताइए जो (6, 4) तथा (5, 2) से समदूरस्थ हो।

Answer 1

एक बिंदु रेखा x + y = 5. पर स्थित है। हम y-निर्देशांक को x के पदों में इस प्रकार लिख सकते हैं:

x + y = 5

y = 5 − x

अतः, इस रेखा पर स्थित किसी भी बिंदु का रूप P(x, 5 − x) होगा।

दो बिंदुओं (x₁, y₁) and (x₂, y₂) के बीच की दूरी का सूत्र है:

= `sqrt((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2)`

चूँकि यह बिंदु A(6, 4) और B(5, 2) से समदूरस्थ है, इसलिए दूरियाँ PA और PB समान होंगी (PA = PB)।

समदूरस्थ होने की स्थिति का उपयोग करने पर:

`sqrt((x - 6)^2 + (y - 4)^2) = sqrt((x - 5)^2 + (y - 2)^2)`

(x − 6)² + (y − 4)² = (x − 5)² + (y − 2)²  ...[दोनों पक्षों का वर्ग करने पर]

(x − 6)² + ((5 − x) − 4)² = (x − 5)² + ((5 − x) − 2)²  ...[y = 5 − x रखने पर]

(x − 6)² + (1 − x) )² = (x − 5)² + (3 − x)²

पदों का विस्तार करने पर:

(x² − 12x + 36) + (1 − 2x + x²) = (x² − 10x + 25) + (9 − 6x + x²)

2x² − 14x + 37 = 2x² − 16x + 34

−14x + 16x = 34 − 37   ...[पदों को व्यवस्थित करने पर]

2x = −3

x = −`3/2`

अब y का मान ज्ञात करने के लिए:

y = 5 − x

= `5 - (-3/2)`

= `(10 + 3)/2`

= `13/2`

अतः बिंदु के निर्देशांक (x, y) is `(-3/2, 13/2)`हैं।