Question

रंगमंच के नाटक के दौरान, मंच की पृष्ठभूमि के लिए भवन मेहराब (arches) का प्रयोग किया गया। नीचे दिखाई गई एक मेहराब के वक्र को बहुपद p(x) = − x2 + 2x + 8 के द्वारा निरूपित किया जा सकता है। यहाँ x मंच की सतह पर लम्बाई (फुट में) को दर्शाता है।

उपर्युक्त आकृति के आधार पर निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए।

(i) मेहराब की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।   [1]

(ii) (क) बहुपद p(x) के शून्यक ज्ञात कीजिए। उपर्युक्त ग्राफ में कौन-से बिंदु शून्यक को दर्शाते हैं?   [2]

अथवा

(ii) (ख) मंच की सतह परमेहराब का विस्तार (span) ज्ञात कीजिए।   [2]

(iii) उपर्युक्त वक्र तथा y-अक्ष के प्रतिच्छेदी बिंदु के निर्देशांक लिखिए।   [1]

Answer 1

निम्नलिखित मान दिया है:

p(x) = −x² + 2x + 8

जहाँ x मंच के स्तर पर लंबाई (फीट में) है, और p(x) मेहराब (arch) की ऊँचाई है।

(i) मेहराब की ऊँचाई ज्ञात करना

मेहराब की ऊँचाई परवलय का अधिकतम मान होती है।

एक द्विघात समीकरण ax² + bx + c, के लिए, शीर्ष निम्नलिखित बिंदु पर होता है:

x = `-b/(2a)`

x = `-2/(2(-1))`

= `-2/(-2)`

= 1

p(x) = −x² + 2x + 8

p(1) = −(1)² + 2(1) + 8   ...[अब x = 1 का मान p(x) में रखने पर]

= −1 + 2 + 8

= 9

अतः, मेहराब की ऊँचाई = 9 फीट

(ii) (क) शून्यक ज्ञात करना

शून्यक x के वे मान हैं जिनके लिए p(x) = 0 होता है।

−x² + 2x + 8

सरल करने के लिए दोनों पक्षों को −1 से गुणा करने पर:

x² − 2x − 8 = 0   ...[गुणनखंड करने पर]

x² − 4x + 2x − 8 = 0

x(x − 4) + 2(x − 4) = 0

(x + 2)(x − 4) = 0

x + 2 = 0 और x − 4= 0

x = −2 और x = 4

ये शून्यक उन बिंदुओं को दर्शाते हैं जहाँ मेहराब मंच के फर्श (x-अक्ष) से मिलते हैं। ये बिंदु A(−2, 0) और B(4, 0) हैं।

अथवा

(ii) (ख) मेहराब का विस्तार

विस्तार x-अक्ष पर दोनों शून्यकों के बीच की दूरी होती है।

विस्तार = 4 − (−2) = 6 फीट

(iii)  y-अक्ष के साथ प्रतिच्छेद बिंदु

y-अक्ष पर, x = 0 होता है।

p(0) = −(0)² + 2(0) + 8

= 0 + 0 + 8

= 8

अतः, y-अक्ष पर प्रतिच्छेद बिंदु (0, 8) है।