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प्रश्न
बिंदु X, Δ ABC की माध्यिका AD पर स्थित ऐसा बिंदु है कि AX : XD = 2 : 3 है। BX को बढ़ाने पर यह भुजा AC को बिंदु Y पर प्रतिच्छेद करती है। सिद्ध कीजिए कि BX = 4XY है।
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उत्तर
निम्नलिखित दिया है:
Δ ABCमें, AD एक माध्यिका है। AD पर एक बिंदु X इस प्रकार स्थित है कि AX : XD = 2 : 3 है।
रचना: DZ || By खींचिए।
Δ AXY और Δ ADZ में,
∠XAY = ∠DAZ ...[उभयनिष्ठ कोण]
∠AYX = ∠AZD ...[संगत कोण]
Δ AXY ∼ Δ ADZ ...[AA समरूपता कसौटी से]
अतः, `(XY)/(DZ) = (AX)/(AD) = 2/5` [चूँकि AX = 2, XD = 3 तो AD = 2 + 3 = 5]
`(XY)/(DZ) = 2/5`
5 XY = 2 DZ ...[i]
Δ CDZ और Δ CBY में,
∠DCZ = ∠BCY ....[उभयनिष्ठ कोण]
∠CZD = ∠CYB ...[संगत कोण]
Δ CDZ ∼ Δ CBY ...[AA समरूपता कसौटी से]
`(BY)/(DZ) = (BC)/(DC) = 2/1`
`(BY)/(DZ) = 2/1`
BY = 2 DZ ...(ii)
समीकरण (i) और (ii) से, हमें प्राप्त होता है:
5 XY = BY
`(BY)/(XY) = 5/1`
`(BY)/(XY) - 1 = 5/1 - 1` ...[दोनों पक्षों में से 1 घटाने पर]
`(BY - XY)/(XY) = (5 - 1)/1`
`(BX)/(XY) = 4/1`
BX = 4 XY
