Mathematics and Statistics [गणित आणि सांख्यिकी] Official 2024-2025 HSC Commerce (Marathi Medium) 12th Standard Board Exam [इयत्ता १२ वी] Question Paper Solution

जर p: तो बुद्धिमान आहे.

q: तो बलवान आहे.

तर “तो बुद्धिमान किंवा बलवान आहे हे चुकीचे आहे” या विधानाचे प्रतीकात्मक रूप ______ आहे.

∼ p ∨ ∼ q

∼ (p ∧ q)

∼ (p ∨ q)

p ∨ ∼ q

`int(x + 1/x)^3 dx` = ______.

`1/4(x + 1/x)^4 + c`

`x^4/4 + (3x^2)/2 + 3log x - 1/(2x^2) + c`

`x^4/4 + (3x^2)/2 + 3log x + 1/x^2 + c`

`(x - x^(-1))^3 + c`

`int_2^7 sqrt(x)/(sqrt(x) + sqrt(9 - x))  dx` = ______.

`7/2`

`5/2`

7

2

वक्र y = x² आणि रेषा y = 4 ने बंदिस्त क्षेत्राचे क्षेत्रफळ ______ आहे.

`32/3` चौ. एकक

`64/3` चौ. एकक

`16/3` चौ. एकक

64 चौ. एकक

विकलनीय समीकरण `((d^2y)/(dx^2))^2 + ((dy)/(dx))^2 = a^x` चा क्रम आणि कोटी क्रमशः ______ आहे.

1, 1

1, 2

2, 2

2, 1

विकलनीय समीकरणाचा `dy/dx+y/x=x^3-3` एकत्रीकरण घटक (I.F.) ______ आहे.

log x

e^x

`1/x`

x

खालील विधान सत्य किंवा असत्य आहे ते सांगा:

जर A एक सारणी आणि K एक स्थिरांक असेल तर (KA)^T = KA^T

खालील विधान सत्य किंवा असत्य आहे ते सांगा:

`int log x  dx = x log x + x + c`

खालील विधान सत्य किंवा असत्य आहे ते सांगा:

bx + ay = ab पासून अनियंत्रित स्थिरांक काढून टाकून प्राप्त केलेले विकलन समीकरण `(d^2y)/dx^2=0` आहे.

जर सरासरी महसूल R_A = 50 असेल आणि मागणीची लवचिकता η = 5 असेल तर किरकोळ महसूल R_M ______ आहे.

`inte^x(1/x - 1/x^2) dx` = ______ + c.

जर f'(x) = x² + 5 आणि f(0) = −1 तर f(x) = ______.

“जर त्रिकोण समभुज असेल तर तो समकोण असेल.” ह्या विधानाचे विरुद्ध (converse), व्यस्त (inverse) आणि विपरीत (contrapositive) विधाने लिहा.

जर `{5[(0, 1),(1, 0),(1, 1)] - [(2, 1),(3, - 2),(1, 3)]} [(2),(1)] = [(x - 1),(y + 1),(2z)]` तर x, y, z शोधा.

सोडवा: `int 1/(x(x^6 + 1))` dx

व्यस्त पद्धतीने (method on inversion) खालील समीकरणे सोडवा:

2x – y + z = 1

x + 2y + 3z = 8

3x + y – 4z = 1

जर एका व्यक्तीचा खर्च E_c, त्याचे उत्पन्न I बरोबर असे दिलेले आहे की E_c = (0.0003) I² + (0.075)I जेव्हा I = 1000 असेल तर MPC, MPS, APC आणि APS शोधा.

सोडवा: `int_1^2 (dx)/(x^2 + 6x + 5)`

जर y = `(x)^x + (a^x)` तर `dy/dx` शोधा.

अन्वस्त (parabola) y² = 25x आणि रेषा x = 5 मधील बंदिस्त क्षेत्राचे क्षेत्रफळ शोधा.

y = Ae^3x + Be^–3x संबंधातून अनियंत्रित स्थिरांक काढून टाकून विकलन समीकरण शोधा.

y = Ae^3x + Be^–3x संबंधातून अनियंत्रित स्थिरांक काढून टाकून विकलन समीकरण शोधा.

सत्य सारणी वापरून, पडताळणी करा:

p ∨ (q ∧ r) and (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

जर x = `(4t)/(1 + t^2),  y = 3((1 - t^2)/(1 + t^2))`, तर दाखवा `dy/dx = (-9x)/(4y)`.

खाली दिलेले विकलन समीकरण सोडवा:

(x² – yx²) dy + (y² + xy²) dx = 0.

उकल: 

चलांना वेगवेगळे केल्यानंतर दिलेले समीकरण अशा प्रकारे लिहिता येते

`square  dy + square  dx = 0` 

∴`(y^(-2) - 1/y)dy + (x^(-2) + 1/x)dx = 0`

`square  dy - 1/y  dy + x^(-2) dx + square  dx = 0`

समाकलन केल्यावर आम्हाला मिळते

`inty^(-2) dy - int1/y dy + int x^(-2)dx + int 1/x dx = 0`

 ∴ `y^(-1)/(-1) - square + x^(-1)/(-1) + square = c`

`-1/y - 1/x + log x - log y = c`

`log x - log y = square + c`

हा आवश्यक उकल आहे.

दलाल जो त्याच्या मालकाला हमी देतो की पक्ष मालाची विक्री किंमत देईल त्याला ______ असे म्हणतात.

लिलाव करणारा (Auctioneer)

आश्‍वासक दलाल (Del credere agent)

घटक (Factor)

दलाल (Broker)

सामान्य वार्षिकी मध्ये देणे किंवा पावत्या ______ होतात.

प्रत्येक कालावधीच्या सुरुवातीस

प्रत्येक कालावधीच्या अखेरीस

प्रत्येक कालावधीच्या मध्यात

त्रैमासिक तत्त्वावर

चलित सरासरी ______ ओळखण्यासाठी उपयुक्त आहेत.

हंगामी घटक

अनियमित घटक

कल घटक

चक्रीय घटक

जर P₀₁(L) = 90 आणि P₀₁(P) = 40 तर P₀₁(D – B) तर ______ आहे.

65

50

25

130

सोपवणी समस्येचे उद्दिष्ट ______ नियुक्त करणे आहे.

जास्तीत जास्त किमतीत कामांची संख्या समान व्यक्तींची संख्या

कमीत कमी किमतीत कामांची संख्या समान व्यक्तींची संख्या

फक्त खर्च वाढवण्यासाठी

फक्त खर्च कमी करण्यासाठी

दोन निष्पक्ष फासे फेकले जातात तेव्हा मिळणाऱ्या दोन संख्यांच्या बेरजेचे अपेक्षित मूल्य ______ असते.

5

6

7

8

खालील दिलेले विधान सत्य किंवा असत्य आहे ते सांगा:

जर b_yx + b_xy = 1.3 आणि r = 0.75 तर दिलेली माहिती विसंगत आहे.

खालील दिलेले विधान सत्य किंवा असत्य आहे ते सांगा:

चक्रीय भिन्नता वर्षातून अनेक वेळा येऊ शकते.

खालील दिलेले विधान सत्य किंवा असत्य आहे ते सांगा:

जीवनावश्यक निर्देशांक क्रमांक पैशाची क्रयशक्ती मोजण्यासाठी वापरला जातो.

बँकेची सवलत वजा केल्यावर हुंडी धारकास दिलेली रक्‍कम ______ म्हणून ओळखली जाते.

वेळ मालिकेचा कल मोजण्याची सोपी पद्धत ______ आहे.

भारित एकत्रित पद्धतीनुसार प्रमाण निर्देशांक क्रमांक ______ द्वारे दिला जातो.

खालील माहितीसाठी योग्य प्रतिगमन समीकरणाची गणना करा.

X हे स्वतंत्र चल आहे आणि Y हे अवलंबित चल आहे.

कंपनी सिमेंट आणि वाळूच्या ठोस विटा बनवते. ठोस विटेचे वजन किमान 5 किलो असावे. सिमेंट 20 रुपये किलो आणि वाळू 6 रुपये किलो आहे. मजबुती वर विचार केला तर ठोस विटांमध्ये कमीत कमी 4 किलो सिमेंट आणि 2 किलो पेक्षा जास्त वाळू नसावी. वरील किंमत किमान असावी यासाठी रेषीय उपयोजन समस्या (L.P.P.) तयार करा.

नि:पक्षपाती नाण्याच्या तीन नाणेफेकमध्ये छाप्याच्या संख्येचा मध्य (mean) शोधा.

4-वर्षीय केंद्रित चलित सरासरीचा वापर करून खालील माहितीसाठी कल मूल्ये (trend values) मिळवा:

खालील कार्ये पूर्ण करण्यासाठी AB या क्रमाने एकूण व्यतीत वेळ कमी करणारा कार्यांचा क्रम शोधा. एकूण व्यतीत वेळ आणि यंत्र B साठी निष्क्रिय वेळ शोधा:

52 पत्त्यांच्या चांगल्या फेरफार केलेल्या गड्डीमधून 5 पत्ते एकापाठोपाठ काढली जातात:

(अ) पाचही पत्ते इसपीक आहेत.

(ब) फक्त 3 पत्ते इसपीक आहेत. त्याची संभाव्यता शोधा.

₹ 8,00,000 किंमतीच्या एका घराचा विमा त्याच्या किंमतीच्या 75% एवढा उतरविण्यात आला. जर विम्याच्या हप्त्याचा दर 0.80% असेल तर घरमालकाने भरलेल्या विम्याच्या हप्त्याची रक्‍कम शोधा. जर दलालाच्या दलालीचा दर विम्याच्या हप्त्याच्या 9% असेल तर दलालाची दलाली शोधा. 

खालील रेषीय उपयोजन समस्या (L.L.P.) आलेखीय पद्धतीने सोडवा:

महत्तम करा: z = 4x + 6y

अटी: 3x + 2y ≤ 12

x + y ≥ 4

x, y ≥ 0

प्लायवुड पाटीवरील दोष यादृच्छिकपणे आढळतात आणि सरासरी एक दोष प्रति 50 चौरस फूट आहे. अशा पाटीची संभाव्यता शोधा ज्यामध्ये

(अ) दोष नाही

(ब) किमान एक दोष आहे.

(वापरा e^–1 = 0.3678)

दोन प्रतिगमन रेषांचे समीकरण 10x – 4y = 80 आणि 10y – 9x = –40 आहे.

शोधा:

(अ) `barx` आणि `bary`

 (ब) b_YX आणि b_XY

(क) r

(ड) जर var (Y) = 36 तर var (X) मिळवा.

राहणीमान किंमत निर्देशांकाची किंमत 150 असल्यास x शोधा:

25 ऑक्टोबर 2017 रोजी एका बँकेत ₹ 18,000 ची हुंडी ₹ 17,568 ला वटवण्यात आली. जर व्याजाचा वार्षिक दर 12% असेल, तर कायदेशीर देव तारीख काय आहे?

उकल:

दिले आहे  SD = 18,000; CV = 17568,

r = 12% प्रतिवर्ष

आता, BD = `square`

= 18,000 – 17,568

= ₹ 432

तसेच BD = `square`

∴ `432=(18,000xxnxx12)/100`

n = `(432xx100)/(18,000xx12)`

n = `1/5` वर्षे = `square` दिवस

ज्या कालावधीसाठी सवलत वजा केली जाते तो 73 दिवसांचा आहे. जो सवलतीच्या तारखेपासून म्हणजेच 25 ऑक्टोबर 2017 मोजला जातो:

त्यामुळे कायदेशीर देय तारीख `square` आहे.

न्यूनतम करण्यासाठी खालील सोपवणी समस्या सोडवा.

उकल:

पायरी -I:

त्या रांगेतील प्रत्येक घटकातून प्रत्येक रांगेतील सर्वात लहान घटक वजा करा.

पायरी -II:

त्या स्तंभाच्या प्रत्येक घटकातून प्रत्येक स्तंभातील सर्वात लहान घटक वजा करा.

पायरी -III:

सर्व शून्य व्यापणाऱ्या किमान रेषा काढा.

येथे कमीत कमी रेषांची संख्या (4) < सारणीचा क्रम (5)

पायरी - IV:

सर्वांत लहान न व्यापलेला घटक 1 आहे, जो सर्व न व्यापलेल्या घटकांमधून वजा करून दोन रेषांच्या छेदनबिंदूवर असलेल्या सर्व घटकांमध्ये जोडायचा आहे.

पायरी -V

सर्व शून्य व्यापणाऱ्या आवश्यक किमान रेषा काढा.

येथे कमीत कमी रेषांची संख्या ≠ सारणीचा क्रम

पायरी -VI:

सर्वात लहान न व्यापलेला घटक (1) आहे, जो सर्व न व्यापलेल्या घटकांमधून वजा करून दोन रेषांच्या छेदन बिंदूवर असलेल्या सर्व घटकांमध्ये जोडायचा आहे.

आता कमीत कमी रेषांची संख्या = सारणीचा क्रम.

इष्टतम सोपवणी केली जाऊ शकते

इष्टतम उकल:

1 → I

2 → IV

3 → `square`

4 → `square`

5 → V आहे.

न्यूनतम मूल्य = `square`