Question

दोन प्रतिगमन रेषांचे समीकरण 10x – 4y = 80 आणि 10y – 9x = –40 आहे.

शोधा:

(अ) `barx` आणि `bary`

 (ब) b_YX आणि b_XY

(क) r

(ड) जर var (Y) = 36 तर var (X) मिळवा.

Answer 1

(i) दिलेल्या समाश्रयण समीकरणे (regression equations) खालीलप्रमाणे आहेत

10x − 4y = 80

i.e., 5x − 2y = 40      ...(i)

आणि 10y − 9x = −40

i.e., −9x + 10y = −40    ...(ii)

समीकरण (i) ला 5 ने गुणून त्यात समीकरण (ii) मिळवल्यास, आपल्याला मिळते:

 25x − 10y = 200

− 9x + 10y = − 40 
16x             = 160

∴ x = 10

समीकरण (i) मध्ये x = 10 ही किंमत ठेवल्यास, आपल्याला मिळते:

5(10) − 2y = 40

∴ 50 − 2y = 40

∴ −2y = 40 − 50

∴ −2y = −10

∴ y = 5

दोन समाश्रयण रेषांचा छेदनबिंदू हा `(bar x, bar y)` असतो, त्यामुळे `bar x = 10` आणि `bar y = 5` आहेत.

(ii) 10y − 9x = −40 हे Y चे X वरील समाश्रयण समीकरण आहे, असे मानू.

∴ हे समीकरण खालीलप्रमाणे होते: 10Y = 9X − 40 

i.e., Y = `9/10X − 40/10`

या समीकरणाची तुलना Y = b_YX X + a या समीकरणाशी केल्यास, आपल्याला मिळते:

`b_(YX) = 9/10 = 0.9`

आता, दुसरे समीकरण 10x − 4y = 80 हे X चे Y वरील समाश्रयण समीकरण आहे, असे मानू.

∴ हे समीकरण खालीलप्रमाणे होते: 10X = 4Y + 80

i.e., X = `4/10 Y + 80/10`

i.e., X = `2/5 Y + 8`

या समीकरणाची तुलना केल्यास X = b_XY Y + a', या समीकरणावरून, आपल्याला मिळते:

`b_(XY) = 2/5 = 0.4`

(iii) दिले आहे, Var (Y) = 36, i.e., `sigma_Y^2` = 36

∴ σY = 6

`b_(XY) = r xx sigma_X/sigma_Y` हे सूत्र वापरून:

`2/5 = 0.6 xx sigma_X/6`

∴ `2/5 = 0.1 xx sigma_X`

∴ `2/(5 xx 0.1) = sigma_X`

∴ `sigma_X` = 4

∴ `sigma_X^2 = 16` i.e., Var(X) = 16

(iv) r = `+-sqrt(b_(XY) *b_(YX)`

`= +-sqrt(2/5 xx 9/10) +- sqrt(9/25)`

`= +- 3/5`

 `= +- 0.6`

b_YX आणि b_XY हे दोन्ही धन (positive) असल्यामुळे,

r हा देखील धन असतो.

∴ r = 0.6