Question

जर y = `(x)^x + (a^x)` तर `dy/dx` शोधा.

Answer 1

y = `(x)^x + (a^x)`

u = (x)^x आणि v = (a^x) मानू

∴ y = u + v

दोन्ही बाजूंना x च्या संदर्भात अवकलित केल्यास, आपल्याला मिळते:

`dy/dx = (du)/dx + (dv)/dx`     ....(i)

आता u = `(x)^x`

दोन्ही बाजूंना लघुगणक घेतल्यास, आपल्याला मिळते:

log u = log `(x)^x`

∴ log u = x . log x

दोन्ही बाजूंना x च्या संदर्भात अवकलित केल्यास, आपल्याला मिळते:

`1/u (du)/dx = x * d/dx (log x) + log x * d/dx(x)`

`= x * 1/x + log x * (1)`

∴ `1/u (du)/dx = 1 + log x`

∴ `(du)/dx = u(1 + log x)`

∴ `(du)/dx = (x)^x` (1 + log x)        ....(ii)

v = a^x

दोन्ही बाजूंना x च्या संदर्भात अवकलित केल्यास, आपल्याला मिळते:

`(dv)/dx = a^x* log a`       ....(iii)

समीकरण (i) मध्ये (ii) आणि (iii) च्या किमती ठेवल्यास, आपल्याला मिळते:

`dy/dx = x^x(1 + log x) + a^x* log a`