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Question
सिद्ध कीजिए कि समुच्चय A = {x ∈ Z : 0 ≤ x ≤ 12}, में दिए गए निम्नलिखित संबंध R एक तुल्यता संबंध है:
R = {(a, b) : a = b}, 1 से संबंधित अवयवों को ज्ञात कीजिए।
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Solution
R = {(a, b) : a = b}
(i) स्वतुल्य:
R = {(0, 0), (1, 1), ..., (12, 12)}
A = {0, 1, 2, ..., 12}
किसी भी अवयव a ∈ A के लिए, हमारे पास (a, a) ∈ R है, क्योंकि a = a।
∴ R स्वतुल्य है।
(ii) सममित:
अब, मान लीजिए (a, b) ∈ R।
⇒ a = b
⇒ b = a
⇒ (b, a) ∈ R
∴ R सममित है।
(iii) संक्रामक:
अब, मान लीजिए (a, b) ∈ R और (b, c) ∈ R।
⇒ a = b और b = c
⇒ a = c
⇒ (a, c) ∈ R
∴ R संक्रामक है।
अतः, R एक तुल्यता संबंध है।
R में जो अवयव 1 से संबंधित हैं, वे समुच्चय a के अवयव होंगे जो 1 के बराबर हैं।
अतः, 1 से संबंधित अवयवों का समुच्चय {1} है।
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