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Question
सिद्ध कीजिए कि समुच्चय A = {x ∈ Z : 0 ≤ x ≤ 12}, में दिए गए निम्नलिखित संबंध R एक तुल्यता संबंध है:
R = {(a, b) : |a − b|, 4 का एक गुणज है}, 1 से संबंधित अवयवों को ज्ञात कीजिए।
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Solution
A = {x ∈ Z : 0 ≤ x ≤ 12} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
R = {(a, b) : |a − b|, 4 का एक गुणज है}
(i) स्वतुल्य:
किसी भी अवयव a ∈ A के लिए, हमारे पास (a, a) ∈ R है क्योंकि |a − a| = 0, 4 का गुणज है।
∴ R स्वतुल्य है।
(ii) सममित:
अब, मान लें (a, b) ∈ R
⇒ |a − b| 4 का गुणज है।
⇒ |−(a − b)| = |b − a| 4 का गुणज है।
⇒ (b, a) ∈ R
इस प्रकार (a, b) ∈ R
⇒ (b, a) ∈ R
∴ R सममित है।
(iii) संक्रामक:
अब, मान लें (a, b), (b, c) ∈ R
⇒ |a − b| 4 का गुणज है और |b − c| 4 का गुणज है।
⇒ |a − c| = |a − b + b − c| = |a − b| + |b − c|
⇒ (a − c) = (a − b) + (b − c) 4 का गुणज है।
⇒ (a, c) ∈ R ...[∴ |a − b| 4 का गुणज है और |b − c| 4 का गुणज है।]
∴ R संक्रामक है।
अतः, R एक तुल्यता सबंध है।
1 से संबंधित अवयवों का समूह {1, 5, 9} है क्योंकि
|1 − 1| = 0 जो की 4 का गुणज है।
|5 − 1| = 4 जो की 4 का गुणज है।
|9 − 1| = 8 जो की 4 का गुणज है।
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