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Question
निर्धारित कीजिए कि क्या निम्नलिखित संबंध स्वतुल्य, सममित और संक्रामक हैं:
किसी विशेष समय पर किसी नगर के निवासियों के समुच्चय A में निम्नलिखित संबंध R:
R = {(x, y) : x तथा y एक ही स्थान पर कार्य करते हैं}
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Solution
(i) स्वतुल्य:
मान लीजिए कि x, R का एक मनमाना तत्व है।
तब, x ∈ R
⇒ x और x एक ही स्थान पर काम करते हैं, जो सच है क्योंकि वे एक ही हैं।
⇒ (x, x) ∈ R
∴ R एक स्वतुल्य संबंध है।
(ii) सममित:
मान लें कि (x, y) ∈ R
⇒ x और y एक ही स्थान पर काम करते हैं।
⇒ y और x एक ही स्थान पर काम करते हैं।
⇒ (y, x) ∈ R
∴ R एक सममित संबंध है।
(iii) संक्रामक:
मान लीजिए (x, y) ∈ R और (y, z) ∈ R।
तब, x और y एक ही स्थान पर काम करते हैं।
y और z भी एक ही स्थान पर काम करते हैं।
⇒ x, y और z सभी एक ही स्थान पर काम करते हैं।
⇒ x और z एक ही स्थान पर काम करते हैं।
⇒ (x, z) ∈ R
∴ R एक संक्रामक संबंध है।
अत:, R स्वतुल्य सममित और संक्रामक है।
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