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Question
निर्धारित कीजिए कि क्या निम्नलिखित संबंध स्वतुल्य, सममित और संक्रामक हैं:
समस्त पूर्णांकों के समुच्चय Z में R = {(x, y) : x − y एक पूर्णांक है} द्वारा परिभाषित संबंध R।
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Solution
R = {(x, y) : x − y एक पूर्णांक है}
यहाँ प्रत्येक x ∈ Z के लिए, (x, x) ∈ R क्योंकि x − x = 0 एक पूर्णांक है।
∴ R स्वतुल्य है।
अब, प्रत्येक x के लिए, y ∈ Z, यदि (x, y) ∈ R, तो x − y एक पूर्णांक है।
⇒ −(x − y) भी एक पूर्णांक है।
⇒ (y − x) भी एक पूर्णांक है।
∴ (y, x) ∈ R
∴ R सममित है।
अब, मान लीजिए (x, y) और (y, z) ∈ R, जहाँ x, y, z ∈ Z।
⇒ (x − y) और (y − z) पूर्णांक हैं।
⇒ x − z = (x − y) + (y − z) एक पूर्णांक है।
∴ (x, z) ∈ R
∴ R संक्रामक है।
अतः, R स्वतुल्य, सममित और संक्रामक है।
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