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Question
एक अरिक्त समुच्चय X दिया हुआ है। P(X) जो कि X के समस्त उपसमुच्चयों का समुच्चय है, पर विचार कीजिए। निम्नलिखित तरह से P(X) में एक संबंध R परिभाषित कीजिए:
P(X) में उपसमुच्चयों A, B के लिए, ARB, यदि और केवल यदि A ⊂ B है। क्या R, P(X) में एक तुल्यता संबंध है? अपने उत्तर का औचित्य भी लिखिए।
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Solution
(i) स्वतुल्य:
चूँकि प्रत्येक समुच्चय स्वयं का उपसमुच्चय होता है। अतः प्रत्येक A ∈ P(X) के लिए ARB प्राप्त होता है।
अतः R स्वतुल्य संबंध है।
(ii) सममित:
मान लीजिए ARB ⇒ A⊂ B
इसका तात्पर्य B ⊂ A से नहीं किया जा सकता।
उदाहरण के लिए, यदि A = {1, 2} और B = {1, 2, 3}, तो इसका तात्पर्य यह नहीं लगाया जा सकता कि B, A से संबंधित है।
= ARB ≠ BRA
अत: R सममित समुच्चय नहीं है।
(iii) संक्रामक:
इसके अलावा, यदि ARB और BRC है, तो A ⊂ B और B ⊂ C है।
⇒ A ⊂ C
⇒ ARC
अतः R संक्रामक संबंध है।
अतः, R, P(X) के लिए तुल्यता संबंध नहीं है।
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