NCERT solutions for Ganita Manjari [Hindi] Class 9 chapter 1 - स्वयं को प्रवृत्त करना - निर्देशांकों का उपयोग [Latest edition]

दिए गए चित्र में रियान का कमरा दिखाया गया है, इसके कोनों को बिंदुओं OABC द्वारा चिह्नित किया गया है। चित्र में x-अक्ष और y-अक्ष को चिह्नित किया गया है। बिंद 0 मूलबिंद है।

दिए गए चित्र के आधार पर निम्नलिखित प्रश्‍नों के उत्तर दीजिए:

1. यदि D₁R₁ रियान के कमरे के द्वार को प्रदर्शित करता है तो यह द्वार कमरे की बाईं दीवार(y-अक्ष) से कितनी दूरी पर स्थित है? द्वार x-अक्ष से कितनी दूरी पर स्थित है?
2. D₁ के निर्देशांक क्या हैं?
3. यदि R₁ बिंदु (11.5, 0) है तो द्वार की चौड़ाई क्या है? क्या आपको लगता है कि कमरे के द्वार के लिए यह चौड़ाई उपयुक्त है? यदि कोई व्यक्ति पहिएदार कुर्सी (व्हीलचेयर) पर बैठकर कमरे में प्रवेश करना चाहता है तो क्या वह सरलतापूर्वक ऐसा कर पाएगा?
4. यदि B₁, (0, 1.5) और B₂, (0, 4) स्नानगृह के द्वार की सीमा के अंतिम बिंदुओं को प्रदर्शित करते हैं तो क्या स्नानगृह का द्वार कमरे के द्वार की तुलना में संकीर्ण है या अधिक चौड़ा है?

किसी कमरे के द्वार के लिए मानक चौड़ाई क्या है? अपने घर और विद्यालय के परिवेश में देखिए।

क्या आपके विद्यालय के द्वार व्हीलचेयर पर बैठे व्यक्तियों के लिए उपयुक्त हैं?

पूर्व में बताई गई परिपाटी के अनुसार हम कह सकते हैं:

1. प्रथम चतुर्थांश में स्थित बिंदुओं के x और y दोनों निर्देशांक धनात्मक होते हैं।
2. द्वितीय चतुर्थाश में स्थित बिंदुओं के x-निर्देशांक ऋणात्मक और y-निर्देशांक धनात्मक होते हैं।
3. तृतीय चतुर्थांश में स्थित बिंदओं के x और y दोनों निर्देशांक ऋणात्मक होते हैं।
4. चतुर्थ चतुर्थांश में स्थित बिंदओं के x-निर्देशांक धनात्मक और y-निर्देशांक ऋणात्मक होते हैं।

y-अक्ष पर किसी बिंदु का x-निर्देशांक क्या है?

क्या x-अक्ष पर किसी बिंदु के लिए समान व्यापकीकरण किया जा सकता है?

क्या बिंदु Q (y, x) कभी भी बिंदु P (x, y) के संपाती होता है? अपने उत्तर को प्रमाणित कीजिए।

यदि x ≠ y है तो (x, y) ≠ (y, x) होगा और (x, y) = (y, x) केवल तभी होगा, यदि x = y हो। क्या यह सत्‍य है?

एक आलेख पत्रक पर x-अक्ष, y-अक्ष और मूलबिंदु 0 को अंकित कीजिए। x-अक्ष पर (−7, 0) से लेकर (13, 0) तक और y-अक्ष पर (0, −15) से लेकर (0, 12) तक बिंदुओं का अंकन कीजिए, (1 से.मी.= 1 इकाई का पैमाना उपयोग कीजिए) चित्र का उपयोग करते हुए दिए गए प्रश्नों के उत्तर दीजिए:

एक आलेख पत्रक पर x-अक्ष, y-अक्ष और मूलबिंदु 0 को अंकित कीजिए। x-अक्ष पर (−7, 0) से लेकर (13, 0) तक और y-अक्ष पर (0, −15) से लेकर (0, 12) तक बिंदुओं का अंकन कीजिए, (1 से.मी.= 1 इकाई का पैमाना उपयोग कीजिए) चित्र का उपयोग करते हुए दिए गए प्रश्नों के उत्तर दीजिए:

यदि एक स्नानगृह के द्वार का  कब्जा B₁ पर है और यह शयनकक्ष की ओर खलुता है तो क्या यह अलमारी से टकराएगा? यदि द्वार अपेक्षाकृत अधिक चौड़ाई का बनाया जाए तो इस संदर्भ मेें क्या आप कुछ परिवर्तनों का सुझाव देेंगे?

एक आलेख पत्रक पर x-अक्ष, y-अक्ष और मूलबिंदु 0 को अंकित कीजिए। x-अक्ष पर (−7, 0) से लेकर (13, 0) तक और y-अक्ष पर (0, −15) से लेकर (0, 12) तक बिंदुओं का अंकन कीजिए, (1 से.मी.= 1 इकाई का पैमाना उपयोग कीजिए) चित्र का उपयोग करते हुए दिए गए प्रश्नों के उत्तर दीजिए:

रियान के स्नानगृह की ओर देखिए:

1. स्नानगृह के चार कोनों O, F, R और? के निर्देशांक क्या हैं?
2. रियान के स्नानगृह में फव्वारा क्षेत्र का आकार क्या है? इसके चारों कोनों के निर्देशांक लिखिए।
3.  प्रक्षालन पात्र (वॉश बेसिन) के लिए 3 फुट × 2 फुट और प्रसाधन (शौचालय) के लिए 2 फुट × 3 फुट का स्थान चिह्नित कीजिए। इन स्थानों के कोनों के निर्देशांक लिखिए।

एक आलेख पत्रक पर x-अक्ष, y-अक्ष और मूलबिंदु 0 को अंकित कीजिए। x-अक्ष पर (−7, 0) से लेकर (13, 0) तक और y-अक्ष पर (0, −15) से लेकर (0, 12) तक बिंदुओं का अंकन कीजिए, (1 से.मी.= 1 इकाई का पैमाना उपयोग कीजिए) चित्र का उपयोग करते हुए दिए गए प्रश्नों के उत्तर दीजिए:

घर मेें अन्य कमरे:

त्रिभुज ADM प्रथम चतुर्थाश में एक न्यूनकोण त्रिभुज है। हम इसकी भुजाओं AD, DM और MA की लंबाई कैसे ज्ञात करेंगे?

दोनों अक्षों के प्रतिच्छेद बिंदु के x-निर्देशांक और y-निर्देशांक क्या होंगे?

बिंदु R (3, 0), A(0, −2), M(5, −2) तथा ? (−5, 2) पर विचार कीजिए। यदि वे इसी क्रम मेें मिलाए गए हैैं तो अनुमान लगाइए:

1. RAMP की दो भुजाएँ जो परस्पर लंबवत हैं।
2. RAMP की वह भुजा जो किसी एक अक्ष के समानांतर है।
3. दो बिंदु जो एक अक्ष में एक-दूसरे के दर्पण प्रतिबिंब हैं। यह अक्ष कौन-सा होगा?

अब बिंदुओं को अंकित कीजिए और अपने अनुमान को सत्यापित कीजिए।

क्या बिंदु M (−3, −4), A (0, 0) और G (6, 8) एक ही सरल रेखा पर हैं? बिंदुओं के अंकन के बिना और बिंदुओं को जोड़े बिना एक विधि बताइए, जिसके माध्यम से हम इसका परीक्षण कर सकें।

मूलबिंदु को एक शीर्ष के रूप में उपयोग करते हुए, निम्नलिखित के शीर्षों को अंकित कीजिए:

1. एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज
2. एक ऐसा समद्रिबाहु त्रिभुज जिसका एक शीर्ष तृतीय चतुर्थांश में और अन्य शीर्ष चतुर्थ चतुर्थांश में हो।

1. दिए गए बिंदुओं A (1, –8), B (–4, 7) और C (–7, –4) के लिए प्रदर्शित कीजिए कि वे एक वृत्त K पर स्थित हैं, जिसका केंद्र मूलबिंदु O (0, 0) है। वृत्त K की त्रिज्या क्या होगी?
2. दिए गए बिंदुओं D (–5, 6) और E (0, 9) के लिए जाँच कीजिए कि क्या वे वृत्त K के भीतर स्थित हैं, वृत्त पर स्थित हैं या वृत्त के बाहर स्थित हैं।

एक शहर की दो मुख्य सड़कें, जो एक-दूसरे को शहर के केंद्र पर प्रतिच्छेद करती हैं, ये दो सड़के उत्तर–दक्षिण तथा पूर्व–पश्चिम दिशा के अनुदिश हैं। शहर की अन्य सभी गलियाँ इन्हीं सड़कों के समानांतर हैं तथा एक-दूसरे से 200 मीटर की दूरी पर स्थित हैं। प्रत्येक दिशा में 10 गलियाँ हैं।

(i) 1 सेमी = 200 मीटर के पैमाने का उपयोग करते हुए अपनी अभ्यास-पुस्तिका में शहर का एक प्रतिरूप बनाइए। सड़कों को एकल रेखाओं द्वारा प्रस्तुत दर्शाइए।

(ii) प्रदर्श में गलियों के प्रतिच्छेदन हैं। प्रत्येक गली प्रतिच्छेदन दो गलियों द्वारा बना है, जिसमें एक गली उत्तर–दक्षिण दिशा में तथा दूसरी गली पूर्व–पश्चिम दिशा की ओर जा रही है प्रत्येक की व्याख्या निम्नलिखित रुप मे की गई है। यदि उत्तर–दक्षिण दिशा में जाने वाली दूसरी गली और पूर्व–पश्चिम दिशा में जाने वाली पाँचवीं गली किसी स्थान पर प्रतिच्छेद करती हैं, तो उस हम इस गली प्रतिच्छेदन को (2, 5) कहेंगे। इसी पद्धति का उपयोग करते हुए ज्ञात कीजिए:

1. गलियों के कितने प्रतिच्छेदनों को (4, 3) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है?
2. गलियों के कितने प्रतिच्छेदनों को (3, 4) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है?

एक कंप्यूटर ग्राफिक्स (चित्रांकन) कार्यक्रम में एक आयताकार दृश्यपटल (स्क्रीन) पर छवियों को प्रदर्शित किया जाता है जिसकी निर्देशांक पद्धति का मूलबिंदु नीचे बाएँ कोने में है। दृश्यपटल की चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः 800 पिक्सेल और 600 पिक्सेल हैं। 80 पिक्सेल त्रिज्या वाला एक वृत्ताकार प्रतीक (आइकन), बिंदु A (100, 150) को केंद्रित करके बनाया गया है। 100 पिक्सेल त्रिज्या वाला एक अन्य वृत्ताकार प्रतीक बिंदु B (250, 230) को केंद्रित करके बनाया गया है। पता लगाइए:

1. क्या किसी भी वृत्त का कोई भाग दृश्यपटल (स्क्रीन) से बाहर स्थित है?
2. क्या दोनों वृत्त एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करते हैं?