Question

एक कंप्यूटर ग्राफिक्स (चित्रांकन) कार्यक्रम में एक आयताकार दृश्यपटल (स्क्रीन) पर छवियों को प्रदर्शित किया जाता है जिसकी निर्देशांक पद्धति का मूलबिंदु नीचे बाएँ कोने में है। दृश्यपटल की चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः 800 पिक्सेल और 600 पिक्सेल हैं। 80 पिक्सेल त्रिज्या वाला एक वृत्ताकार प्रतीक (आइकन), बिंदु A (100, 150) को केंद्रित करके बनाया गया है। 100 पिक्सेल त्रिज्या वाला एक अन्य वृत्ताकार प्रतीक बिंदु B (250, 230) को केंद्रित करके बनाया गया है। पता लगाइए:

1. क्या किसी भी वृत्त का कोई भाग दृश्यपटल (स्क्रीन) से बाहर स्थित है?
2. क्या दोनों वृत्त एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करते हैं?

Answer 1

दिया गया है:

दृश्यपटल (Screen) का आकार = 800 × 600 पिक्सेल

•  सीमा: 0 से 800
•  सीमा: 0 से 600

पहला वृत्त:

केंद्र A (100, 150), त्रिज्या r₁ = 80 पिक्सेल

वृत्त की सीमाएँ:

x दिशा में:

100 − 80 ≤ x ≤ 100 + 80

⇒ 20 ≤ x ≤ 180

y दिशा में:

150 − 80 ≤ y ≤ 150 + 80

⇒ 70 ≤ y ≤ 230

ये सीमाएँ स्क्रीन की सीमा (0–800, 0–600) के अंदर हैं।

अतः पहला वृत्त स्क्रीन से बाहर नहीं जाता है।

दूसरा वृत्त:

केंद्र B (250, 230), त्रिज्या r₂ = 100 पिक्सेल

वृत्त की सीमाएँ:

x दिशा में:

250 − 100 ≤ x ≤ 250 + 100

⇒ 150 ≤ x ≤ 350

y दिशा में:

230 − 100 ≤ y ≤ 230 + 100

⇒ 130 ≤ y ≤ 330

ये सीमाएँ भी स्क्रीन की सीमा के अंदर हैं।

अतः दूसरा वृत्त भी स्क्रीन से बाहर नहीं जाता है।

(i) किसी भी वृत्त का कोई भाग दृश्यपटल (स्क्रीन) से बाहर स्थित नहीं है।

(ii) दोनों केंद्रों के बीच की दूरी: 

`d = sqrt((250-100)^2 + (230-150)^2)`

`d = sqrt(150^2+ 80^2)`

`d = sqrt(22500+6400)`

`d = sqrt28900`

d = 170

अब, r₁ + r₂ = 80 + 100 = 180

और ∣r ₂ − r₁∣ = 100 − 80 = 20

प्रतिच्छेदन की शर्त: ∣r₂ − r₁∣ < d < r₁ + r₂

20 < 170 < 180

अतः दोनों वृत्त एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करते हैं।

1. नहीं, किसी भी वृत्त का कोई भाग स्क्रीन से बाहर स्थित नहीं है।
2. हाँ, दोनों वृत्त एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करते हैं।