Question

कार्तीय तल पर बिंदु A(2, 1), B(−1, 2), C(−2,−1) और D(1, −2) का अंकन कीजिए। क्या ABCD एक वर्ग है? क्या आप व्याख्या कर सकते हैं कि ऐसा क्यों है? इस वर्ग का क्षेत्रफल क्या है?

Answer 1

दिए गए बिंदु हैं:

• A (2, 1) 
• B (−1, 2) 
• C (−2, −1) 
• D (1, −2)

इन बिंदुओं को कार्तीय तल पर अंकित करने पर एक चतुर्भुज ABCD प्राप्त होता है।

दो बिंदुओं के बीच दूरी का सूत्र: `d = sqrt((x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2)`

 AB की लंबाई: AB = `sqrt((-1-2)^2 + (2-1)^2)`

= `sqrt((-3)^2+1^2)`

= `sqrt(9+1)`

= `sqrt10`

BC की लंबाई: `sqrt((-2+1)^2 + (-1-2)^2)`

= `sqrt((-1)^2+(-3)^2)`

= `sqrt(1+9)`

= `sqrt10`

इसी प्रकार, CD = `sqrt10`,  DA = `sqrt10`

अर्थात सभी चारों भुजाएँ बराबर हैं।

विकर्ण AC = `sqrt((-2-2)^2 + (-1-1)^2)`

= `sqrt(16+4)`

= `sqrt20`

BD = `sqrt((1+1)^2 + (-2-2)^2)`

= `sqrt(4+16)`

= `sqrt20`

दोनों विकर्ण बराबर हैं, इसलिए ABCD एक वर्ग है।

वर्ग का क्षेत्रफल: क्षेत्रफल = (भुजा)²

क्षेत्रफल = `sqrt(10^2)` = 10

1. हाँ, ABCD एक वर्ग है। 
2. कारण: इसकी चारों भुजाएँ बराबर हैं और विकर्ण बराबर हैं।
3. वर्ग का क्षेत्रफल = 10 वर्ग इकाई।