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प्रश्न
(x + y) (dx – dy) = dx + dy को हल कीजिए। [संकेत : dx और dy को पृथक करने के पश्चात x + y = z रखिए ]
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उत्तर
दिया गया अवकल समीकरण (x + y)(dx – dy) = dx + dy है।
⇒ (x + y) dx – (x + y) dy = dx + dy
⇒ – (x + y) dy – dy = dx – (x + y)dx
⇒ – (x + y + 1) dy = – (x + y – 1)dx
⇒ `"dy"/"dx" = (x + y - 1)/(x + y + 1)`
x + y = z रखिए
∴ `1 + "dy"/"dx" = "dz"/"dx"`
`"dy"/"dx" = "dz"/"dx" - 1`
तो, `"dz"/"dx" - 1 = (" z" - 1)/("z" + 1)`
⇒ `"dz"/"dx" = ("z" - 1)/("z" + 1) + 1`
⇒ `"dz"/"dx" = ("z" - 1 + "z" + 1)/("z" + 1)`
⇒ `"dz"/"dx" = (2"z")/("z" + 1)`
⇒ `("z" + 1)/"z" "dz"` = 2 . dx
दोनों पक्षों को जोड़ने पर, हम प्राप्त करते हैं
`int ("z" + 1)/"z" "dz" = 2 int "d"x`
⇒ `int(1 + 1/2) "dz" = 2int "d"x`
⇒ `"z" + log|"z"| = 2x + log|"c"|`
⇒ `x + "y" + log|x + "y"| = 2x + log|"c"|`
⇒ `"y" + log|x + "y"| = x + log |"c"|`
⇒ `log|x + "y"| = x - "y" + log|"c"|`
⇒ `log|x + "y"| - log|"c"| = (x - "y")`
⇒ `log|(x + "y")/"c"| = (x - "y")`
⇒ `(x + "y")/"c" = "e"^(x - "y")`
∴ x + y = `"c" . "e"^(x - "y")`
अत: वाँछित हल x + y = `"c" . "e"^(x - "y")` है।
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