Advertisements
Advertisements
प्रश्न
(x + y) (dx – dy) = dx + dy को हल कीजिए। [संकेत : dx और dy को पृथक करने के पश्चात x + y = z रखिए ]
Advertisements
उत्तर
दिया गया अवकल समीकरण (x + y)(dx – dy) = dx + dy है।
⇒ (x + y) dx – (x + y) dy = dx + dy
⇒ – (x + y) dy – dy = dx – (x + y)dx
⇒ – (x + y + 1) dy = – (x + y – 1)dx
⇒ `"dy"/"dx" = (x + y - 1)/(x + y + 1)`
x + y = z रखिए
∴ `1 + "dy"/"dx" = "dz"/"dx"`
`"dy"/"dx" = "dz"/"dx" - 1`
तो, `"dz"/"dx" - 1 = (" z" - 1)/("z" + 1)`
⇒ `"dz"/"dx" = ("z" - 1)/("z" + 1) + 1`
⇒ `"dz"/"dx" = ("z" - 1 + "z" + 1)/("z" + 1)`
⇒ `"dz"/"dx" = (2"z")/("z" + 1)`
⇒ `("z" + 1)/"z" "dz"` = 2 . dx
दोनों पक्षों को जोड़ने पर, हम प्राप्त करते हैं
`int ("z" + 1)/"z" "dz" = 2 int "d"x`
⇒ `int(1 + 1/2) "dz" = 2int "d"x`
⇒ `"z" + log|"z"| = 2x + log|"c"|`
⇒ `x + "y" + log|x + "y"| = 2x + log|"c"|`
⇒ `"y" + log|x + "y"| = x + log |"c"|`
⇒ `log|x + "y"| = x - "y" + log|"c"|`
⇒ `log|x + "y"| - log|"c"| = (x - "y")`
⇒ `log|(x + "y")/"c"| = (x - "y")`
⇒ `(x + "y")/"c" = "e"^(x - "y")`
∴ x + y = `"c" . "e"^(x - "y")`
अत: वाँछित हल x + y = `"c" . "e"^(x - "y")` है।
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए-
`dy/dx + (sec x)y = tan x (0 <= x <= pi/2)`
वक्रों के कुल y = Ae2x + B.e–2x के लिए अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए।
मूल बिंदु से गुजरने वाली सरल रेखाओं के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए।
अवकल समीकरण `[1 + ("dy"/"dx")^2]^2 = ("d"^2y)/("d"x^2)` के क्रमशः कोटि और घात हैं
दी गई त्रिज्या a के सभी वृत्तों के अवकल समीकरण की कोटि है
अवकल समीकरण `2x * "dy"/"dx" y` = 3 का हल किस कुल को निरूपित करता है?
अवकल समीकरण `("dy"/"dx")^2 + (("d"^2y)/("d"x^2))^2` = 0 की घात ______ हैं।
F(x, y) = `("y"cos("y"/x) + x)/(xcos("y"/x))` समघातीय फलन नहीं है।
F(x, y) = `(x^2 + y^2)/(x - y)` कोटि 1 का समघातीय फलन है।
एक तल में सभी रेखाएँ जो ऊर्ध्वाधर नहीं हैं के लिए अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए।
यदि `(1 + "t")"dy"/"dt" - "ty"` = 1 का y(t) एक हल है और y(0) = – 1 है तो दिखाइए कि y(1) = `-1/2`
अवकल समीकरण dy = cosx(2 – y cosecx) dx को हल कीजिए, दिया है कि x = `pi/2` तब y = 2 है।
अवकल समीकरण (1 + y2) tan–1xdx + 2y(1 + x2) dy = 0 को हल कीजिए।
बिंदु (1, 1) से गुजरने वाले उस वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके किसी बिंदु P (x, y) से खींची गई स्पर्श रेखा, निर्देशांक अक्षों से A और B पर इस प्रकार मिलती है कि AB का मध्य बिंदु P है।
y = Acos αx + Bsin αx जहाँ A और B स्वेछ अचर हैं के लिए अवकल समीकरण है
निम्न से कौन सा अवकल समीकरण कोटि 2 का है?
अवकल समीकरण `(1 - x^2) ("dy")/("d"x) - x"y"` = 1 का समाकलन गुणक है
tan–1 x + tan–1 y = c किस अवकल समीकरण का व्यापक हल है?
ex cosy dx – ex siny dy = 0 का व्यापक हल है
`("dy")/("d"x) + "y" = "e"^-x` जब y(0) = 0 का हल है
अवकल समीकरण `("dy")/("d"x) + "y" tanx - secx` = 0 का समाकलन गुणक है
अवकल समीकरण `("dy")/("d"x) + (1 + "y"^2)/(1 + x^2)` का हल है
अवकल समीकरण `("dy")/("d"x) + "y" = (1 + "y")/x` का समाकलन गुणक है
समीकरण (2y – 1)dx – (2x + 3)dy = 0 का हल है
अवकल समीकरण जिसका एक हल y = acosx + bsinx है
अवकल समीकरण `(("d"^3"y")/("d"x^3))^2 - 3 ("d"^2"y")/("d"x^2) + 2(("dy")/("d"x))^4` = y4 की कोटि तथा घात क्रमश: है
`("dy")/("d"x) + "y"/(xlogx) = 1/x` इस ______ प्रकार का समीकरण है।
`("dy")/("d"x) + "y"` = sinx का व्यापक हल ______ है।
`("dy")/("d"x) + "y" = (1 + "y")/x` का समाकलन गुणक ______ है।
`("dy")/("d"x) = ("y"/x)^(1/3)` का हल `"y"^(2/3) - x^(2/3)` = c है।
