Advertisements
Advertisements
Question
(x + y) (dx – dy) = dx + dy को हल कीजिए। [संकेत : dx और dy को पृथक करने के पश्चात x + y = z रखिए ]
Advertisements
Solution
दिया गया अवकल समीकरण (x + y)(dx – dy) = dx + dy है।
⇒ (x + y) dx – (x + y) dy = dx + dy
⇒ – (x + y) dy – dy = dx – (x + y)dx
⇒ – (x + y + 1) dy = – (x + y – 1)dx
⇒ `"dy"/"dx" = (x + y - 1)/(x + y + 1)`
x + y = z रखिए
∴ `1 + "dy"/"dx" = "dz"/"dx"`
`"dy"/"dx" = "dz"/"dx" - 1`
तो, `"dz"/"dx" - 1 = (" z" - 1)/("z" + 1)`
⇒ `"dz"/"dx" = ("z" - 1)/("z" + 1) + 1`
⇒ `"dz"/"dx" = ("z" - 1 + "z" + 1)/("z" + 1)`
⇒ `"dz"/"dx" = (2"z")/("z" + 1)`
⇒ `("z" + 1)/"z" "dz"` = 2 . dx
दोनों पक्षों को जोड़ने पर, हम प्राप्त करते हैं
`int ("z" + 1)/"z" "dz" = 2 int "d"x`
⇒ `int(1 + 1/2) "dz" = 2int "d"x`
⇒ `"z" + log|"z"| = 2x + log|"c"|`
⇒ `x + "y" + log|x + "y"| = 2x + log|"c"|`
⇒ `"y" + log|x + "y"| = x + log |"c"|`
⇒ `log|x + "y"| = x - "y" + log|"c"|`
⇒ `log|x + "y"| - log|"c"| = (x - "y")`
⇒ `log|(x + "y")/"c"| = (x - "y")`
⇒ `(x + "y")/"c" = "e"^(x - "y")`
∴ x + y = `"c" . "e"^(x - "y")`
अत: वाँछित हल x + y = `"c" . "e"^(x - "y")` है।
APPEARS IN
RELATED QUESTIONS
निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए-
`dy/dx + y/x + x^2`
निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए-
`dy/dx + (sec x)y = tan x (0 <= x <= pi/2)`
निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए-
`(x + 3y^2) dy/dx = y, (y > 0)`
निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए-
`(1 + x^2) dy/dx + 2xy = 1/(1 + x^2); y = 0` यदि x = 1
अवकल समीकरण x`dy/dx - y = 2x^2` का समाकलन गुणक है:
अवकल समीकरण `"dy"/"dx" + y/x` = x2 को हल कीजिए।
बताइए कि समीकरण xdy – ydx = `sqrt(x^2 + "y"^2) "d"x` किस प्रकार का अवकल समीकरण है तथा इसे हल कीजिए।
अवकल समीकरण `2x * "dy"/"dx" y` = 3 का हल किस कुल को निरूपित करता है?
अवकल समीकरण `"dx"/x + "dy"/y` = 0 का हल है
अवकल समीकरण `x "dy"/"dx" - y` = sinx का समाकलन गणक ______ है।
अवकल समीकरण `"dy"/"dx" + y/x` = 1 का व्यापक हल ______ है।
दीर्घ वृत्तों जिनका केंद्र मूल बिंदु पर तथा नाभियाँ x-अक्ष पर हैं को निरूपित करने वाले अवकल समीकरण की कोटि 2 है।
F(x, y) = `(x^2 + y^2)/(x - y)` कोटि 1 का समघातीय फलन है।
अवकल समीकरण `"dy"/"dx" - y` = cos x is ex का समाकलन गुणक ex है।
अवकल समीकरण x(1 + y2)dx + y(1 + x2)dy = 0 का व्यापक हल (1 + x2)(1 + y2) = k है।
`"dy"/"dx"` = 2y–x का हल ज्ञात कीजिए।
`x^2 "dy"/"dx"` = x2 + xy + y2 को हल कीजिए।
अवकल समीकरण (1 + y2) tan–1xdx + 2y(1 + x2) dy = 0 को हल कीजिए।
अवकल समीकरण `(("d"^2"y")/("d"x^2))^2 + (("dy")/("d"x))^2 = xsin(("dy")/("d"x))` की घात है
`(x"dy")/("d"x) - "y" = x^4 - 3x` का समाकलन गुणक है:
अवकल समीकरण `("d"^2"y")/("d"x^2) + (("dy")/("d"x))^3 + 6"y"^5` = 0 की घात है
`("dy")/("d"x) + "y" = "e"^-x`, y(0) = 0 का हल है
अवकल समीकरण `(("d"^3"y")/("d"x^3))^2 - 3 ("d"^2"y")/("d"x^2) + 2(("dy")/("d"x))^4` = y4 की कोटि तथा घात क्रमश: है
`("dy")/("d"x) + "y"tanx = secx` व्यापक हल है
अवकल समीकरण `("dy")/("d"x) + "y"/x` = sec x का हल है
`("dy")/("d"x) + "y"/(xlogx) = 1/x` इस ______ प्रकार का समीकरण है।
अवकल समीकरण `x("dy")/("d"x) + 2"y" = x^2` का हल ______ है।
`(1 + x^2) ("dy")/("d"x) + 2x"y" - 4x^2` = 0 का हल ______ है।
