Advertisements
Advertisements
Question
y2dx + (x2 – xy + y2) dy = 0 का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
Advertisements
Solution
दिया गया समीकरण y2dx + (x2 – xy + y2) dy = 0 है।
⇒ y2dx = – (x2 – xy + y2) dy
⇒ `"dx"/"dy" = - (x^2 - x"y" + "y"^2)/"y"^2`
क्योंकि यह एक समघातीय अवकल समीकरण है
∴ x = vy रखिए
⇒ `"dx"/"dy" = "v" + "y" * "dv"/"dy"`
तो, `"v" + "y" * "dv"/"dy" = - (("v"^2"y"^2 - "vy"^2 + "y"^2)/"y"^2)`
⇒ `"v" + "y" * "dv"/"dy" = -("y"^2("v"^2 - "v" + 1))/"y"^2`
⇒ `"v" + "y" * "dv"/"dy" = (-"v"^2 + "v" - 1)`
⇒ `"y" * "dv"/"dy" = - "v"^2 + "v" - 1 = "v"`
⇒ `"y" * "dv"/"dy" = - "v"^2 - 1`
⇒ `"dv"/(("v"^2 + 1)) = - "dy"/"y"`
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर हमें प्राप्त होता है
⇒ `int "dv"/(("v"^2 + 1)) = -int "dy"/"y"`
⇒ `tan^-1"v" = - log "y" + "c"`
⇒ `tan^-1(x/"y") + log "y" + "c"`
इसलिए, वाँछित हल `tan^-1(x/"y") + log "y" + "c"` है।
APPEARS IN
RELATED QUESTIONS
निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए-
`dy/dx + 2 y tan x = sin x`; y = 0 यदि x = `pi/4`
अवकल समीकरण `"dy"/"dx"` = yex, x = 0, y = e में y का मान बताएं जब x = 1
अवकल समीकरण `"dy"/"dx" + y/x` = x2 को हल कीजिए।
एक तल में सभी अक्षैतिज रेखाओं का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए।
बिंदु 1,`pi/4` से जाने वाले वक् का समीकरण ज्ञात कीजिए यदि किसी बिंदु P (x, y) पर वक्र की स्पर्श रेखा की प्रवणता `"y"/x - cos^2"y"/x` है।
अवकल समीकरण `2x * "dy"/"dx" y` = 3 का हल किस कुल को निरूपित करता है?
अवकल समीकरण `x "dt"/"dx" + 2"y"` = x2 का हल है
अवकल समीकरण tan x dx + tan y dy = 0 के विशिष्ट हल में स्वेच्छ अचरों की संख्या ______ है।
F(x, y) = `(sqrt(x^2 + y^2) + y)/x` का घात ______ है।
अवकल समीकरण `"dx"/"dy" = (x^2 log(x/y) - x^2)/(xy log(x/y))` को हल करने के लिए उपयुक्त प्रतिस्थापन ______ है।
अवकल समीकरण `x "dy"/"dx" - y` = sinx का समाकलन गणक ______ है।
जब `("e"^(-2sqrt(x))/sqrt(x) - y/sqrt(x))("d"x)/("d"y) = 1(x ≠ 0)` को `"dy"/"dx" + "P"y` = Q, के रूप में लिखते हैं तब P = ______ है।
अवकल समीकरण `"dy"/"dx" + "y" sec x` = tan x का व्यापक हल y(secx – tanx) = secx – tanx + x + k है।
यदि y (x) समीकरण `((2 + sinx)/(1 + "y"))"dy"/"dx"` = – cosx का हल है और y (0) = 1, है तब `"y"(pi/2)` का मान ज्ञात कीजिए।
यदि `(1 + "t")"dy"/"dt" - "ty"` = 1 का y(t) एक हल है और y(0) = – 1 है तो दिखाइए कि y(1) = `-1/2`
(x + y) (dx – dy) = dx + dy को हल कीजिए। [संकेत : dx और dy को पृथक करने के पश्चात x + y = z रखिए ]
अवकल समीकरण `(("d"^2"y")/("d"x^2))^2 + (("dy")/("d"x))^2 = xsin(("dy")/("d"x))` की घात है
अवकल समीकरण `[1 + (("dy")/("d"x))^2]^(3/2) = ("d"^2"y")/("d"x^2)` की घात है
अवकल समीकरण `("d"^2"y")/("d"x^2) + (("dy")/("d"x))^(1/4) + x^(1/5)` = 0, के कोटि और घात क्रमश: हैं
y = Acos αx + Bsin αx जहाँ A और B स्वेछ अचर हैं के लिए अवकल समीकरण है
अवकल समीकरण xdy – ydx = 0 का हल निरूपित करता है एक ______
y = Ax + A3 } द्वारा निरूपित वक्रों के कुल के अवकल समीकरण की घात है
`(x"dy")/("d"x) - "y" = x^4 - 3x` का समाकलन गुणक है:
अवकल समीकरण cosx siny dx + sinx cosy dy = 0 का हल है
अवकल समीकरण `[1 + (("dy")/("d"x))^2] = ("d"^2"y")/("d"x^2)` की कोटि तथा घात क्रमश: है
`("dy")/("d"x) + "y"tanx = secx` व्यापक हल है
`("dy")/("d"x) + "y"` = sinx का व्यापक हल ______ है।
