Advertisements
Advertisements
प्रश्न
y2dx + (x2 – xy + y2) dy = 0 का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
Advertisements
उत्तर
दिया गया समीकरण y2dx + (x2 – xy + y2) dy = 0 है।
⇒ y2dx = – (x2 – xy + y2) dy
⇒ `"dx"/"dy" = - (x^2 - x"y" + "y"^2)/"y"^2`
क्योंकि यह एक समघातीय अवकल समीकरण है
∴ x = vy रखिए
⇒ `"dx"/"dy" = "v" + "y" * "dv"/"dy"`
तो, `"v" + "y" * "dv"/"dy" = - (("v"^2"y"^2 - "vy"^2 + "y"^2)/"y"^2)`
⇒ `"v" + "y" * "dv"/"dy" = -("y"^2("v"^2 - "v" + 1))/"y"^2`
⇒ `"v" + "y" * "dv"/"dy" = (-"v"^2 + "v" - 1)`
⇒ `"y" * "dv"/"dy" = - "v"^2 + "v" - 1 = "v"`
⇒ `"y" * "dv"/"dy" = - "v"^2 - 1`
⇒ `"dv"/(("v"^2 + 1)) = - "dy"/"y"`
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर हमें प्राप्त होता है
⇒ `int "dv"/(("v"^2 + 1)) = -int "dy"/"y"`
⇒ `tan^-1"v" = - log "y" + "c"`
⇒ `tan^-1(x/"y") + log "y" + "c"`
इसलिए, वाँछित हल `tan^-1(x/"y") + log "y" + "c"` है।
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए-
`dy/dx + (sec x)y = tan x (0 <= x <= pi/2)`
अवकल समीकरण `(1 - y^2) dy/dx + yx = ay (-1 < y < 1)` का समाकलन गुणक है:
अवकल समीकरण `[1 + ("dy"/"dx")^2]^2 = ("d"^2y)/("d"x^2)` के क्रमशः कोटि और घात हैं
अवकल समीकरण `"dx"/x + "dy"/y` = 0 का हल है
अवकल समीकरण `x "dt"/"dx" + 2"y"` = x2 का हल है
अवकल समीकरण `x "dy"/"dx" - y` = sinx का समाकलन गणक ______ है।
यदि `(1 + "t")"dy"/"dt" - "ty"` = 1 का y(t) एक हल है और y(0) = – 1 है तो दिखाइए कि y(1) = `-1/2`
`x^2 "dy"/"dx"` = x2 + xy + y2 को हल कीजिए।
`"y" + "d"/("d"x) (x"y") = x(sinx + logx)` को हल कीजिए।
अवकल समीकरण `("d"^2"y")/("d"x^2) + (("dy")/("d"x))^(1/4) + x^(1/5)` = 0, के कोटि और घात क्रमश: हैं
`(x"dy")/("d"x) - "y" = x^4 - 3x` का समाकलन गुणक है:
अवकल समीकरण `"y" ("dy")/("d"x) + "c"` निरूपित करता है
अवकल समीकरण `("d"^2"y")/("d"x^2) + (("dy")/("d"x))^3 + 6"y"^5` = 0 की घात है
`("dy")/("d"x) + "y" = "e"^-x` जब y(0) = 0 का हल है
अवकल समीकरण `("dy")/("d"x) + (1 + "y"^2)/(1 + x^2)` का हल है
y = aemx+ be–mx निम्न में से किस अवकल समीकरण को संतुष्ट करता है
`("dy")/("d"x) = 2x"e"^(x^2 - "y")` का व्यापक हल है
समीकरण (2y – 1)dx – (2x + 3)dy = 0 का हल है
अवकल समीकरण जिसका एक हल y = acosx + bsinx है
अवकल समीकरण (ex + 1) ydy = (y + 1) exdx का व्यापाक हल है
कोटि तीन के अवकल समीकरण के व्यापक हल में स्वेच्छ अचरों की संख्या ______ है।
`("d"x)/("d"x) + "P"_1x = "Q"_1` प्रकार के अवकल समीकरण का व्यापक हल ______ है।
`("dy")/("d"x) + "y"` = sinx का व्यापक हल ______ है।
`("dy")/("d"x) + "y" = (1 + "y")/x` का समाकलन गुणक ______ है।
अवकल समीकरण `("d"x)/("dy") + "P"_1x = "Q"_1` के समाकलन गुणक को `"e"^(int "P"_1"dy")` से लिखा जाता है।
`("d"x)/("dy") = "g"(x, "y")` जहाँ g (x, y) एक शून्य घात वाला समघातीय फलन है, प्रकार के अवकल समीकरण को हल करने के लिए सही प्रतिस्थापन x = vy है।
वक्रों के कुल y = ex (Acosx + Bsinx) को निरूपित करने वाला अवकल समीकरण `("d"^2"y")/("d"x^2) - 2 ("dy")/("d"x) + 2"y"` = 0 है।
एक तल में सभी अक्षतिज (रेखाएँ जो क्षैतिज नहीं हैं) सरल रेखाओं का अवकल
समीकरण `("d"^2x)/("dy"^2)` = 0 है।
