Advertisements
Advertisements
प्रश्न
यदि `(1 + "t")"dy"/"dt" - "ty"` = 1 का y(t) एक हल है और y(0) = – 1 है तो दिखाइए कि y(1) = `-1/2`
Advertisements
उत्तर
दिया गया समीकरण `(1 + "t")"dy"/"dt" - "ty"` = 1 है।
⇒ `"dy"/"dt" - ("t"/(1 + "t")) "y" = 1/(1 + "t")`
यहाँ, P = `(-"t")/(1 + "t")` और Q = `1/(1 + "t")`
∴ समाकलन गुणक I.F. = `"e"^(int"pdt")`
= `"e"^(int (-1)/(1 + "t") "dt")`
= `"e"^(-int (1 + "t" - 1)/(1 + "t") "dt")`
= `"e"^(-int(1 - 1/(1 + "t"))"dt")`
= `"e"^(-["t" - log(1 + "t")])`
= `"e"^(-"t" + log(1 + "t"))`
= `"e"^(-"t") * "e"^(log(1 + "t"))`
∴ I.F. = `"e"^(-"t") * (1 + "t")`
दिए गए अवकल समीकरण का वाँछित हल
y . I. F. = `int "Q" . "I"."F". "dt" + "c"`
⇒ `"y" * "e"^-"t" (1 + "t") = int 1/((1 + "t")) * "e"^-"t" * (1 + "t") "dt" + "c"`
⇒ `"y" * "e"^-"t" (1 + "t") = int "e"^-"t" "dt" + "c"`
⇒ `"y" * "e"^-"t" (1 + "t") = - "e"^-"t" + "c"`
t = 0 और y = –1 ....[∵ y(0) = –1] रखिए
⇒ `-1 * "e"^0 * 1 = -"e"^0 + "c"`
⇒ –1 = –1 + c
⇒ c = 0
तो समीकरण बन जाता है
`"ye"^-"t" (1 + "t") = -"e"^-"t"`
अब t = 1 रखिए
∴ `"y" * "e"^-1 (1 + 1) = -"e"^-1`
⇒ 2y = –1
⇒ y = `- 1/2`
इसलिए y(1) = `-1/2` सत्यापित है।
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए-
`(x + y) dy/dx = 1`
निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए-
`(1 + x^2) dy/dx + 2xy = 1/(1 + x^2); y = 0` यदि x = 1
अवकल समीकरण x`dy/dx - y = 2x^2` का समाकलन गुणक है:
परवलयों y2 = 4ax के कुल को निरूपित करने वाले अवकल समीकरण की कोटि ______ है।
अवकल समीकरण `x "dy"/"dx" - y` = sinx का समाकलन गणक ______ है।
वक्रों के कुल y = A sinx + B cosx को निरूपित करने वाला अवकल समीकरण ______ है।
अवकल समीकरण `("d"^2"y")/("d"x^2) - x^2 "dy"/"dx" + x"y"` = x का एक विशिष्ट हल y = x है।
दिया है कि `"dy"/"dx" = "e"^-2x` और जब x = 5 तब y = 0 है। जब y = 3 है तब x का मान ज्ञात कीजिए।
यदि y (x) समीकरण `((2 + sinx)/(1 + "y"))"dy"/"dx"` = – cosx का हल है और y (0) = 1, है तब `"y"(pi/2)` का मान ज्ञात कीजिए।
(x + y) (dx – dy) = dx + dy को हल कीजिए। [संकेत : dx और dy को पृथक करने के पश्चात x + y = z रखिए ]
`2("y" + 3) - x"y" "dy"/"dx"` = 0 को हल कीजिए जबकि y (1) = – 2 दिया है।
Ax2 + By2 = 1 से A और B को विलुप्त करके अवकल समीकरण बनाइए।
केंद्र (1, 2) वाले सभी सकेंद्री वृत्तों के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए।
`x ("dy")/("d"x) = "y" (log "y" – log x + 1)` को हल कीजिए।
`(x"dy")/("d"x) - "y" = x^4 - 3x` का समाकलन गुणक है:
वक्र कुल y = Ax + A3 उस अवकल समीकरण के तदनुरूपी (संगत) है जिसकी कोटि है
अवकल समीकरण `("dy")/("d"x) + "y"/x` = sec x का हल है
अवकल समीकरण (ex + 1) ydy = (y + 1) exdx का व्यापाक हल है
अवकल समीकरण `("dy")/("d"x) + (2x"y")/(1 + x^2) = 1/(1 + x^2)^2` का हल है
कोटि तीन के अवकल समीकरण के व्यापक हल में स्वेच्छ अचरों की संख्या ______ है।
अवकल समीकरण `x("dy")/("d"x) + 2"y" = x^2` का हल ______ है।
`(1 + x^2) ("dy")/("d"x) + 2x"y" - 4x^2` = 0 का हल ______ है।
अवकल समीकरण `("d"x)/("dy") + "P"_1x = "Q"_1` के समाकलन गुणक को `"e"^(int "P"_1"dy")` से लिखा जाता है।
`("d"x)/("dy") + "p"_1x = "Q"_1` प्रकार के अवकल समीकरण के हल को x.I.F. = `("I"."F") xx "Q"_1"dy"` द्वारा दिया जाता है।
`("dy")/("d"x) = "f"(x, "y")` जहाँ f (x, y) एक शून्य घात वाला समघातीय फलन है, को हल करने के लिए सही प्रतिस्थापन y = vx है।
`("d"x)/("dy") = "g"(x, "y")` जहाँ g (x, y) एक शून्य घात वाला समघातीय फलन है, प्रकार के अवकल समीकरण को हल करने के लिए सही प्रतिस्थापन x = vy है।
`("dy")/("d"x) = ("y"/x)^(1/3)` का हल `"y"^(2/3) - x^(2/3)` = c है।
