Question

निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए-

`(1 + x^2) dy/dx + 2xy = 1/(1 + x^2); y = 0` यदि x = 1

Answer 1

दिया गया समीकरण है

`(1 + x^2) dy/dx + 2xy = 1/(1 + x^2)`

or `dy/dx + (2x)/(1 + x^2) y = 1/(1 + x^2)^2`             ...(1)

जो एक प्रकार का रैखिक समीकरण है।

`dy/dx + Py = Q`

यहाँ `P = (2x)/(1 + x^2)`

और `Q = (1/(1 + x^2))^2`

∴ `int Pdx = int (2x)/(1 + x^2)  dx = log |1 + x^2| = log (1 + x^2)`

[∵ x² ≥ 0 ⇒ 1 + x² > 0  ⇒ |1 + x²| = 1 + x²]

∴ `I.F. = e^(log (1 + x^2)) = (1 + x^2)`

∴ समाधान है,  `y. (L.F.) = int Q. (I.F.) dx + C`

⇒ `y. (1 + x^2) = int ((1 + x^2))/((1 + x^2)^2) dx + C`

⇒ `y (1 + x^2) = tan^-1 x + C`           ....(2)

जब x = 1, y = 0,

∴ 0 = tan^-1 1 + C

⇒ `C = -pi/4`

(2) में रखने पर, हमें `y (1 + x^2) = tan^-1 x - pi/4` मिलता है।

जो आवश्यक समाधान है।