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प्रश्न
बिंदु (1, 1) से गुजरने वाले उस वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके किसी बिंदु P (x, y) से खींची गई स्पर्श रेखा, निर्देशांक अक्षों से A और B पर इस प्रकार मिलती है कि AB का मध्य बिंदु P है।
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उत्तर
मान लीजिए P (x, y) वक्र पर कोई बिंदु है और P पर दिए गए वक्र की स्पर्शरेखा AB है।
AB का मध्यबिंदु P है .....(दिया है)
∴ A और B के निर्देशांक क्रमशः (2x, 0) और (0, 2y) हैं।
∴ स्पर्श रेखा AB का ढाल = `(2"y" - 0)/(0 - 2x) = - "y"/x`
∴ `("dy")/("d"x) = - "y"/x`
⇒ `("dy")/"y" = -("d"x)/x`
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर हमें प्राप्त होता है
`int ("dy")/"y" = -int ("d"x)/x`
⇒ log y = – log x + log c
⇒ log y + log x = log c
⇒ log yx = log c
∴ yx = c
क्योंकि वक्र (1, 1) से होकर गुजरता है
∴ 1 × 1 = c
∴ c = 1
इसलिए, वाँछित समीकरण xy = 1 है।
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