Advertisements
Advertisements
प्रश्न
मूल बिंदु से गुजरने वाले वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए यदि इस वक्र के किसी बिंदु (x, y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता इस बिंदु के x निर्देशांक (भुज) तथा y निर्देशांक (कोटि) के अंतर के वर्ग के बराबर है।
Advertisements
उत्तर
यहाँ, वक्र की स्पर्श रेखा का ढलान = `("dy")/("d"x)` और भुज और कोटि के बीच का अंतर = x – y.
∴ प्रतिबंध के अनुसार, `("dy")/("d"x) = (x - "y")^2`
x – y = v रखिए
`1 - ("dy")/("d"x) = "dv"/("d"x)`
∴ `("dy")/("d"x) = 1 - "dv"/"dx"`
∴ समीकरण `1 - "dv"/"dx" = "v"^2` बन जाता है
⇒ `"dv"/"dx" = 1 - "v"^2`
⇒ `"dv"/(1 - "v"^2)` = dx
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर हमें प्राप्त होता है
`int "dv"/(1 - "v"^2) = int "d"x`
⇒ `1/2 log |(1 + "v")/(1 - "v")|` = x + c
⇒ `1/2 log|(1 + x - "y")/(1 - x + "y")|` = x + c ......(1)
क्योंकि, वक्र (0, 0) से होकर जा रहा है
Then `1/2 log|(1 + 0 - 0)/(1 - 0 + 0)|` = 0 + c
⇒ c = 0
∴ समीकरण (1) में c = 0 रखने पर हमें प्राप्त होता है
`1/2 log |(1 + x - "y")/(1 - x + "y")|` = x
⇒ `log|(1 + x - "y")/(1 - x + "y")|` = 2x
∴ `(1 + x - "y")/(1 - x + "y")|` = e2x
⇒ (1 + x – y) = e2x (1 – x + y)
इसलिए, वाँछित समीकरण (1 + x – y) = e2x (1 – x + y) है।
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए-
`dy/dx + y/x + x^2`
निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए-
(1 + x2)dy + 2xy dx = cot x dx (x ≠ 0)
निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए-
y dx + (x – y2)dy = 0
निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए-
`dy/dx + 2 y tan x = sin x`; y = 0 यदि x = `pi/4`
उस वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके मूल बिंदु के अतिरिक्त किसी अन्य बिंदु पर स्पर्श रेखा की प्रवणता `"y" + "y"/x` है।
बिंदु (1, 1) से गुजरने वाले एक ऐसे वक्र का समीकरण ज्ञात कौजिए जिसका किसी बिंदु P(x, y) से वक्र के अभिलंब की मूल बिंदु से लंबवत दूरी P से x-अक्ष की दूरी के बराबर है।
F(x, y) = `(sqrt(x^2 + y^2) + y)/x` का घात ______ है।
वक्रों के कुल y = A sinx + B cosx को निरूपित करने वाला अवकल समीकरण ______ है।
अवकल समीकरण `sqrt(1 + ("d"^2y)/("d"x^2)) = x + "dy"/"dx"` की घात परिभाषित नहीं है।
`"dy"/"dx"` = 2y–x का हल ज्ञात कीजिए।
एक तल में सभी रेखाएँ जो ऊर्ध्वाधर नहीं हैं के लिए अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए।
अवकल समीकरण `"dy"/"dx" + 1` = ex + y को हल कीजिए।
`(x + 2"y"^3) "dy"/"dx"` = y का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
अवकल समीकरण `(1 + y^2) + (x - "e"^(tan - 1y)) "dy"/"dx"` = 0 का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
(x + y) (dx – dy) = dx + dy को हल कीजिए। [संकेत : dx और dy को पृथक करने के पश्चात x + y = z रखिए ]
Ax2 + By2 = 1 से A और B को विलुप्त करके अवकल समीकरण बनाइए।
बिंदु (1, 0) से जाने वाले उस वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके किसी भी बिंदु (x, y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता `("y" - 1)/(x^2 + x)` है।
y = Ax + A3 } द्वारा निरूपित वक्रों के कुल के अवकल समीकरण की घात है
`("dy")/("d"x) = ("y" + 1)/(x - 1)`, जब y (1) = 2 है के हलों की संख्या है।
अवकल समीकरण `(1 - x^2) ("dy")/("d"x) - x"y"` = 1 का समाकलन गुणक है
`("dy")/("d"x) + "y" = "e"^-x` जब y(0) = 0 का हल है
अवकल समीकरण `("dy")/("d"x) + "y" = (1 + "y")/x` का समाकलन गुणक है
वह वक्र जिसके लिए किसी बिंदु पर स्पर्श रेखा की प्रवणता उस बिंदु के x-अक्ष (भुज) तथा y-अक्ष (कोटि) के अनुपात के बराबर है वह है
अवकल समीकरण `[1 + (("dy")/("d"x))^2] = ("d"^2"y")/("d"x^2)` की कोटि तथा घात क्रमश: है
`("dy")/("d"x) + "y"/(xlogx) = 1/x` इस ______ प्रकार का समीकरण है।
`("dy")/("d"x) = "f"(x, "y")` जहाँ f (x, y) एक शून्य घात वाला समघातीय फलन है, को हल करने के लिए सही प्रतिस्थापन y = vx है।
`x("dy")/("d"x) = "y" + x tan "y"/x` का हल `sin("y"/x)` = cx है।
