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प्रश्न
मूल बिंदु से गुजरने वाले वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए यदि इस वक्र के किसी बिंदु (x, y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता इस बिंदु के x निर्देशांक (भुज) तथा y निर्देशांक (कोटि) के अंतर के वर्ग के बराबर है।
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उत्तर
यहाँ, वक्र की स्पर्श रेखा का ढलान = `("dy")/("d"x)` और भुज और कोटि के बीच का अंतर = x – y.
∴ प्रतिबंध के अनुसार, `("dy")/("d"x) = (x - "y")^2`
x – y = v रखिए
`1 - ("dy")/("d"x) = "dv"/("d"x)`
∴ `("dy")/("d"x) = 1 - "dv"/"dx"`
∴ समीकरण `1 - "dv"/"dx" = "v"^2` बन जाता है
⇒ `"dv"/"dx" = 1 - "v"^2`
⇒ `"dv"/(1 - "v"^2)` = dx
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर हमें प्राप्त होता है
`int "dv"/(1 - "v"^2) = int "d"x`
⇒ `1/2 log |(1 + "v")/(1 - "v")|` = x + c
⇒ `1/2 log|(1 + x - "y")/(1 - x + "y")|` = x + c ......(1)
क्योंकि, वक्र (0, 0) से होकर जा रहा है
Then `1/2 log|(1 + 0 - 0)/(1 - 0 + 0)|` = 0 + c
⇒ c = 0
∴ समीकरण (1) में c = 0 रखने पर हमें प्राप्त होता है
`1/2 log |(1 + x - "y")/(1 - x + "y")|` = x
⇒ `log|(1 + x - "y")/(1 - x + "y")|` = 2x
∴ `(1 + x - "y")/(1 - x + "y")|` = e2x
⇒ (1 + x – y) = e2x (1 – x + y)
इसलिए, वाँछित समीकरण (1 + x – y) = e2x (1 – x + y) है।
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