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प्रश्न
मूल बिंदु से गुजरने वाले वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए यदि इस वक्र के किसी बिंदु (x, y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता इस बिंदु के x निर्देशांक (भुज) तथा y निर्देशांक (कोटि) के अंतर के वर्ग के बराबर है।
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उत्तर
यहाँ, वक्र की स्पर्श रेखा का ढलान = `("dy")/("d"x)` और भुज और कोटि के बीच का अंतर = x – y.
∴ प्रतिबंध के अनुसार, `("dy")/("d"x) = (x - "y")^2`
x – y = v रखिए
`1 - ("dy")/("d"x) = "dv"/("d"x)`
∴ `("dy")/("d"x) = 1 - "dv"/"dx"`
∴ समीकरण `1 - "dv"/"dx" = "v"^2` बन जाता है
⇒ `"dv"/"dx" = 1 - "v"^2`
⇒ `"dv"/(1 - "v"^2)` = dx
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर हमें प्राप्त होता है
`int "dv"/(1 - "v"^2) = int "d"x`
⇒ `1/2 log |(1 + "v")/(1 - "v")|` = x + c
⇒ `1/2 log|(1 + x - "y")/(1 - x + "y")|` = x + c ......(1)
क्योंकि, वक्र (0, 0) से होकर जा रहा है
Then `1/2 log|(1 + 0 - 0)/(1 - 0 + 0)|` = 0 + c
⇒ c = 0
∴ समीकरण (1) में c = 0 रखने पर हमें प्राप्त होता है
`1/2 log |(1 + x - "y")/(1 - x + "y")|` = x
⇒ `log|(1 + x - "y")/(1 - x + "y")|` = 2x
∴ `(1 + x - "y")/(1 - x + "y")|` = e2x
⇒ (1 + x – y) = e2x (1 – x + y)
इसलिए, वाँछित समीकरण (1 + x – y) = e2x (1 – x + y) है।
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निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए-
`dy/dx + y/x + x^2`
निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए-
`(1 + x^2) dy/dx + 2xy = 1/(1 + x^2); y = 0` यदि x = 1
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अवकल समीकरण `"dx"/x + "dy"/y` = 0 का हल है
अवकल समीकरण `("dy"/"dx")^2 + (("d"^2y)/("d"x^2))^2` = 0 की घात ______ हैं।
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उन सभी वृत्तों के समीकरण का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए जो मूल बिंदु से होकर जाते हैं तथा केंद्र y-अक्ष पर स्थित है।
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Ax2 + By2 = 1 से A और B को विलुप्त करके अवकल समीकरण बनाइए।
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यदि y = e–x (Acosx + Bsinx) तब y एक हल है
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`(x"dy")/("d"x) - "y" = x^4 - 3x` का समाकलन गुणक है:
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अवकल समीकरण `("dy")/("d"x) + "y" = (1 + "y")/x` का समाकलन गुणक है
समीकरण (2y – 1)dx – (2x + 3)dy = 0 का हल है
अवकल समीकरण `("dy")/("d"x) = "e"^(x - "y") + x^2 "e"^-"y"` का हल है
कोटि तीन के अवकल समीकरण के व्यापक हल में स्वेच्छ अचरों की संख्या ______ है।
`("dy")/("d"x) = "f"(x, "y")` जहाँ f (x, y) एक शून्य घात वाला समघातीय फलन है, को हल करने के लिए सही प्रतिस्थापन y = vx है।
वक्रों के कुल y = ex (Acosx + Bsinx) को निरूपित करने वाला अवकल समीकरण `("d"^2"y")/("d"x^2) - 2 ("dy")/("d"x) + 2"y"` = 0 है।
एक तल में सभी अक्षतिज (रेखाएँ जो क्षैतिज नहीं हैं) सरल रेखाओं का अवकल
समीकरण `("d"^2x)/("dy"^2)` = 0 है।
