Advertisements
Advertisements
प्रश्न
मूल बिंदु से गुजरने वाले वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए यदि इस वक्र के किसी बिंदु (x, y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता इस बिंदु के x निर्देशांक (भुज) तथा y निर्देशांक (कोटि) के अंतर के वर्ग के बराबर है।
Advertisements
उत्तर
यहाँ, वक्र की स्पर्श रेखा का ढलान = `("dy")/("d"x)` और भुज और कोटि के बीच का अंतर = x – y.
∴ प्रतिबंध के अनुसार, `("dy")/("d"x) = (x - "y")^2`
x – y = v रखिए
`1 - ("dy")/("d"x) = "dv"/("d"x)`
∴ `("dy")/("d"x) = 1 - "dv"/"dx"`
∴ समीकरण `1 - "dv"/"dx" = "v"^2` बन जाता है
⇒ `"dv"/"dx" = 1 - "v"^2`
⇒ `"dv"/(1 - "v"^2)` = dx
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर हमें प्राप्त होता है
`int "dv"/(1 - "v"^2) = int "d"x`
⇒ `1/2 log |(1 + "v")/(1 - "v")|` = x + c
⇒ `1/2 log|(1 + x - "y")/(1 - x + "y")|` = x + c ......(1)
क्योंकि, वक्र (0, 0) से होकर जा रहा है
Then `1/2 log|(1 + 0 - 0)/(1 - 0 + 0)|` = 0 + c
⇒ c = 0
∴ समीकरण (1) में c = 0 रखने पर हमें प्राप्त होता है
`1/2 log |(1 + x - "y")/(1 - x + "y")|` = x
⇒ `log|(1 + x - "y")/(1 - x + "y")|` = 2x
∴ `(1 + x - "y")/(1 - x + "y")|` = e2x
⇒ (1 + x – y) = e2x (1 – x + y)
इसलिए, वाँछित समीकरण (1 + x – y) = e2x (1 – x + y) है।
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए-
`xdy/dx + 2y = x^2 log x`
निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए-
y dx + (x – y2)dy = 0
अवकल समीकरण `"dy"/"dx" = y/x` का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
`x^2 "dy"/"dx" - x"y" = 1 + cos("y"/x)`, x ≠ 0 तथा जब x = 1 तब y = `pi/2` है को हल कीजिए।
अवकल समीकरण `(1 + "dy"/"dx")^3 = (("d"^2y)/("d"x^2))^2` की घात है
अवकल समीकरण `("d"^2y)/("d"x^2) + 3("dy"/"dx")^2 = x^2 log(("d"^2y)/("d"x^2))` की घात है
अवकल समीकरण `[1 + ("dy"/"dx")^2]^2 = ("d"^2y)/("d"x^2)` के क्रमशः कोटि और घात हैं
अवकल समीकरण `2x * "dy"/"dx" y` = 3 का हल किस कुल को निरूपित करता है?
अवकल समीकरण `x "dt"/"dx" + 2"y"` = x2 का हल है
अवकल समीकरण `("dy"/"dx")^2 + (("d"^2y)/("d"x^2))^2` = 0 की घात ______ हैं।
अवकल समीकरण `"dx"/"dy" = (x^2 log(x/y) - x^2)/(xy log(x/y))` को हल करने के लिए उपयुक्त प्रतिस्थापन ______ है।
अवकल समीकरण `"dy"/"dx" = "e"^(x - y)` का व्यापक हल ______ है।
अवकल समीकरण `sqrt(1 + ("d"^2y)/("d"x^2)) = x + "dy"/"dx"` की घात परिभाषित नहीं है।
अवकल समीकरण `"dy"/"dx" + "y" sec x` = tan x का व्यापक हल y(secx – tanx) = secx – tanx + x + k है।
अवकल समीकरण `("d"^2"y")/("d"x^2) - x^2 "dy"/"dx" + x"y"` = x का एक विशिष्ट हल y = x है।
ydx – xdy = x2 ydx को हल कीजिए।
`2("y" + 3) - x"y" "dy"/"dx"` = 0 को हल कीजिए जबकि y (1) = – 2 दिया है।
अवकल समीकरण dy = cosx(2 – y cosecx) dx को हल कीजिए, दिया है कि x = `pi/2` तब y = 2 है।
Ax2 + By2 = 1 से A और B को विलुप्त करके अवकल समीकरण बनाइए।
केंद्र (1, 2) वाले सभी सकेंद्री वृत्तों के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए।
(1 + tany)(dx – dy) + 2xdy = 0 का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
यदि y = e–x (Acosx + Bsinx) तब y एक हल है
अवकल समीकरण `cosx ("dy")/("d"x) + "y"sinx` = 1 का समाकलन गुणक है।
वक्र कुल x2 + y2 – 2ay = 0, जहाँ a एक स्वेच्छ अचर है का अवकल समीकरण है
अवकल समीकरण `("dy")/("d"x) = "e"^(x^2/2) + x"y"` का व्यापक हल है
अवकल समीकरण `("d"^2"y")/("d"x^2) + "e"^(("dy")/("d"x))` = 0 की घात ______ है।
`("dy")/("d"x) = "f"(x, "y")` जहाँ f (x, y) एक शून्य घात वाला समघातीय फलन है, को हल करने के लिए सही प्रतिस्थापन y = vx है।
`x("dy")/("d"x) = "y" + x tan "y"/x` का हल `sin("y"/x)` = cx है।
