Question

निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए-

`dy/dx + 2  y tan x = sin x`; y = 0 यदि x = `pi/4`

Answer 1

दिया गया समीकरण है

`dy/dx + 2y tan x = sin x`

जो कि इस प्रकार का एक रैखिक समीकरण है।

`dy/dx + Py = Q`

अतः, P = 2 tan x और Q = sin x

∴ `int Pdx = int 2 tan x dx = 2 log |sec x| = log sec^2 x`

∴ `I.F. = e^(int Pdx) = e^(log sec^2x) = sec^2 x`

∴ समाधान 'y' है, `(I.F.) = int Q. (I.F.)  dx  + C`

⇒ `y sec^2 x = int sin x sec^2 x  dx + C`

`= int sec x tan x  dx + C`

⇒ `y sec^2x = sec x + C`

जब `x = pi/3, y = 0; "तो"  0 = sec  pi/3 + C`

⇒ C = -2

y sec² x = sec x - 2 (1) में रखने पर,

⇒ y = cos x - 2 cos²x, 

जो आवश्यक समाधान है।