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प्रश्न
बिंदु (1, 1) से गुजरने वाले उस वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके किसी बिंदु P (x, y) से खींची गई स्पर्श रेखा, निर्देशांक अक्षों से A और B पर इस प्रकार मिलती है कि AB का मध्य बिंदु P है।
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उत्तर
मान लीजिए P (x, y) वक्र पर कोई बिंदु है और P पर दिए गए वक्र की स्पर्शरेखा AB है।
AB का मध्यबिंदु P है .....(दिया है)
∴ A और B के निर्देशांक क्रमशः (2x, 0) और (0, 2y) हैं।
∴ स्पर्श रेखा AB का ढाल = `(2"y" - 0)/(0 - 2x) = - "y"/x`
∴ `("dy")/("d"x) = - "y"/x`
⇒ `("dy")/"y" = -("d"x)/x`
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर हमें प्राप्त होता है
`int ("dy")/"y" = -int ("d"x)/x`
⇒ log y = – log x + log c
⇒ log y + log x = log c
⇒ log yx = log c
∴ yx = c
क्योंकि वक्र (1, 1) से होकर गुजरता है
∴ 1 × 1 = c
∴ c = 1
इसलिए, वाँछित समीकरण xy = 1 है।
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निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए-
`cos^2 x dy/dx + y = tan x (0 <= x < pi/2)`
वक्रों के कुल y = Ae2x + B.e–2x के लिए अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए।
उस वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके मूल बिंदु के अतिरिक्त किसी अन्य बिंदु पर स्पर्श रेखा की प्रवणता `"y" + "y"/x` है।
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`2("y" + 3) - x"y" "dy"/"dx"` = 0 को हल कीजिए जबकि y (1) = – 2 दिया है।
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`("dy")/("d"x) = cos(x + "y") + sin(x + "y")` को हल कीजिए [संकेत : x + y = z रखिए]
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यदि y = e–x (Acosx + Bsinx) तब y एक हल है
y = Ax + A3 } द्वारा निरूपित वक्रों के कुल के अवकल समीकरण की घात है
`("dy")/("d"x) = ("y" + 1)/(x - 1)`, जब y (1) = 2 है के हलों की संख्या है।
ex cosy dx – ex siny dy = 0 का व्यापक हल है
y = aemx+ be–mx निम्न में से किस अवकल समीकरण को संतुष्ट करता है
`("dy")/("d"x) = 2x"e"^(x^2 - "y")` का व्यापक हल है
वह वक्र जिसके लिए किसी बिंदु पर स्पर्श रेखा की प्रवणता उस बिंदु के x-अक्ष (भुज) तथा y-अक्ष (कोटि) के अनुपात के बराबर है वह है
अवकल समीकरण `("dy")/("d"x) = "e"^(x - "y") + x^2 "e"^-"y"` का हल है
अवकल समीकरण `("dy")/("d"x) + (2x"y")/(1 + x^2) = 1/(1 + x^2)^2` का हल है
`("d"x)/("d"x) + "P"_1x = "Q"_1` प्रकार के अवकल समीकरण का व्यापक हल ______ है।
अवकल समीकरण ydx + (x + xy)dy = 0 का हल ______ है।
`("d"x)/("dy") = "g"(x, "y")` जहाँ g (x, y) एक शून्य घात वाला समघातीय फलन है, प्रकार के अवकल समीकरण को हल करने के लिए सही प्रतिस्थापन x = vy है।
