Question

बिंदु (1, 1) से गुजरने वाले एक ऐसे वक्र का समीकरण ज्ञात कौजिए जिसका किसी बिंदु P(x, y) से वक्र के अभिलंब की मूल बिंदु से लंबवत दूरी P से x-अक्ष की दूरी के बराबर है।

Answer 1

माना P(x, y) से अभिलंब का समीकरण Y – y = `(-"dx")/"dy" ("X" - x)` 

अर्थात्‌ `"Y" + "X" "dx"/"dy" - (y + x "dx"/"dy")` = 0   .....(1)

इसलिए मूल बिंदु से (1) की लंबवत्‌ दूरी

`(y + x "dx"/"dy")/sqrt(1 + ("dx"/"dy")^2)`  .....(2)

साथ ही P की x-अक्ष से दूरी |y| है। 

अत: `(y + x "dx"/"dy")/sqrt(1 + ("dx"/"dy")^2) = |y|`

⇒ `(y + x "dx"/"dy")^2 = y^2 [1 + ("dx"/"dy")^2]`

⇒ `"dx"/"dy" ["dx"/"dy" (x^2 - y^2) + 2xy]` = 0

⇒ `"dx"/"dy"` = 0

या `"dx"/"dy" = (2xy)/(y^2 - x^2)`

स्थिति I: `"dx"/"dy" = 0

⇒ dx = 0

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर हमें x = k प्राप्त होता है।

x = 1 रखने पर k = 1 प्राप्त होता है।

इसलिए वक्र का समीकरण x = 1 है।  .....(यह संभव नहीं है इसलिए इसको अस्वीकार करते हैं)

स्थिति II: `"dx"/"dy" = (2xy)/(y^2 - x^2)`

⇒ `"dy"/"dx" = (y^2 - x^2)/(2xy)`.

अब y = vx, रखने पर हम प्राप्त करते हैं

`"v" + x "dv"/"dx" = ("v"^2x^2 - x^2)/(2"v"x^2)`

⇒ `x * "dv"/"dx" = ("v"^2 - 1)/(2"v")`

= `(-(1 + "v"^2))/(2"v")`

⇒ `(2"v")/(1 + "v"^2) "dv" = (-"dv")/x`

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर हम प्राप्त करते हैं कि

log(1 + v²) = – logx + logc

⇒ log(1 + v²)(x) = log c

⇒ (1 + v²) x = c

⇒ x² + y² = cx.

अब x = 1 तथा

y = 1 रखने पर  c = 2 प्राप्त होता है।

इसलिए, x² + y² – 2x = 0 वाँछित समीकरण है।